Noetherscher Ring/Zahlbereich/Dedekindbereich/Einführung/Textabschnitt

Emmy Noether (1882-1935)

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

Korollar

Jeder Zahlbereich ist ein noetherscher Ring.

Beweis

Nach Fakt ist jedes von ${}0$ verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{n}$, also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als ${}R$-Moduln) endlich erzeugt.

$\Box$

Satz

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$

ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ endlich.

Beweis

Nach Fakt gibt es ein ${}m\in \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$, ${}m\neq 0$. Damit ist ${}mR\subseteq {\mathfrak {a}}$ und damit hat man eine surjektive Abbildung

$R/(m)\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}.$

Der Ring links ist nach Fakt endlich (mit ${}m^{n}$ Elementen), also besitzt der Ring rechts auch nur endlich viele Elemente.

$\Box$

Wir geben noch einen zweiten Beweis der vorstehenden Aussage.

Als kommutative Gruppe ist ${}R=\mathbb {Z} ^{n}$. Sei ${}a\in {\mathfrak {a}}$, ${}a\neq 0$. Dann ist das von ${}a$ erzeugte Hauptideal eine Untergruppe

${}aR\cong \mathbb {Z} ^{n}\subseteq R\cong \mathbb {Z} ^{n}\,.$

Deshalb ist die Restklassengruppe ${}\mathbb {Z} ^{n}/aR$ endlich und wegen der natürlichen Surjektion ${}\mathbb {Z} ^{n}/aR\rightarrow R/{\mathfrak {a}}$ ist auch der Restklassenring endlich.

Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann ist jedes von ${}0$ verschiedene Primideal von ${}R$ bereits ein maximales Ideal.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal ${}\neq 0$ in ${}R$. Dann ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ nach Fakt ein Integritätsbereich und nach Fakt endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe bereits ein Körper, sodass nach Fakt ein maximales Ideal vorliegt.

$\Box$

Richard Dedekind (1831-1916)

Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen.

Definition

Einen Integritätsbereich ${}R$ nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Primideal darin maximal ist.

Die Eigenschaft, dass jedes von ${}0$ verschiedene Primideal maximal ist, bedeutet, dass die maximalen Ketten von Primidealen die Form ${}0\subset {\mathfrak {m}}$ besitzen (wenn ein Körper vorliegt, so gibt es nur das einzige Primideal ${}0$). Man sagt auch, dass die Krulldimension des Ringes gleich ${}1$ ist.

Korollar

Jeder Zahlbereich ist ein Dedekindbereich.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, aus Fakt und aus Fakt.

$\Box$

Satz

Hauptidealbereiche sind Dedekindbereiche.

Beweis

Die Normalität folgt aus Fakt und Fakt. Die Eigenschaft noethersch folgt, da in einem Hauptidealbereich jedes Ideal sogar von einem Element erzeugt wird. Die Maximalität der von ${}0$ verschiedenen Primideale folgt aus Fakt.

$\Box$