Reell-projektive Räume/Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein Körper. Der projektive -dimensionale Raum besteht aus allen Geraden des durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten , wobei nicht alle sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergehen.



Satz  

Sei ein Körper und sei ein projektiver Raum. Sei fixiert.

Dann gibt es eine natürliche Abbildung

Diese Abbildung ist injektiv und induziert eine Bijektion zu denjenigen Punkten des projektiven Raumes, bei denen die -te homogene Koordinate nicht ist. Die Umkehrabbildung wird gegeben durch

Der projektive Raum wird überdeckt von diesen affinen Räumen. Das Komplement eines solchen affinen Raumes ist ein -dimensionaler projektiver Raum.

Beweis  

Die Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert, da die sicher stellt, dass mindestens eine homogene Koordinate nicht ist. Die Abbildung ist injektiv, da aus einer Gleichung der Form (für homogene Koordinaten)

sofort wegen der folgt. Die Umkehrabbildung ist auf der angegebenen Teilmenge wohldefiniert, und ist invers zu der Abbildung. Die Überdeckungseigenschaft ist klar, da für jeden Punkt des projektiven Raumes mindestens eine homogene Koordinate nicht ist. Das Komplement zu ist

mit keinerlei Einschränkung an die übrigen Variablen und mit der Identifizierung von zwei solchen Tupeln, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergehen.




Lemma  

Für den reell-projektiven und den komplex-projektiven Raum sind

die Teilmengen offen in der natürlichen Topologie und homöomorph zu bzw. .

Insbesondere sind die reell- und komplex-projektiven Räume topologische Mannigfaltigkeiten.

Beweis  

Das Urbild von unter der kanonischen Abbildung ist , also das Komplement eines -dimensionalen Untervektorraumes und damit offen in der natürlichen Topologie. Wir betrachten die stetigen Abbildungen

Die Gesamtabbildung ist eine Bijektion und trägt die Quotiententopologie unter der zweiten Abbildung. Wir müssen zeigen, dass die Bijektion eine Homöomorphie ist. Dazu genügt es, die Offenheit zu zeigen. Sei also offen und das zugehörige Bild in . Die Offenheit von ist nach Definition der Quotiententopologie äquivalent dazu, dass das Urbild von offen ist. Diese Menge besteht aus allen Punkten in , die auf einer Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt aus liegen. Sei ein solcher Punkt, und mit und . Sei eine offene Ballumgebung um in . Dann ist auch der dadurch definierte Kegel in offen und liegt ganz in .




Lemma  

Die reell-projektiven und die komplex-projektiven Räume sind kompakt und hausdorffsch in der natürlichen Topologie.

Beweis  

Es gibt eine surjektive stetige Abbildung von einer Sphäre auf einen jeden projektiven Raum. Die Sphäre ist eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge eines reellen endlichdimensionalen Vektorraumes und daher nach dem Satz von Heine-Borel kompakt. Da das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung nach Fakt wieder kompakt ist, folgt, dass die projektiven Räume kompakt sind.

Für die Hausdorff-Eigenschaft seien zwei verschiedene Punkte. Man kann annehmen, dass sie beide auf einem der affinen überdeckenden Räume liegen. Damit gibt es nach Fakt trennende Umgebungen.




Lemma  

Man kann den reell-projektiven Raum durch die -dimensionale Sphäre modulo der Äquivalenzrelation repräsentieren, die antipodale Punkte miteinander identifiziert.

Den komplex-projektiven Raum kann man durch die -dimensionale Sphäre modulo der Äquivalenzrelation repräsentieren, die zwei Punkte miteinander identifiziert, wenn man mit einem schreiben kann.

Beweis  

Wir behandeln die beiden Fälle parallel. Jeder Punkt der Sphäre definiert eine (reelle oder komplexe) Gerade durch den Nullpunkt im umliegenden Raum oder und damit einen Punkt im projektiven Raum. Zwei Punkte definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn es einen Skalar mit gibt. Wegen der Multiplikativität der Norm ist dann auch , woraus sich wegen sofort ergibt. Dies bedeutet im reellen Fall und im komplexen Fall, dass ist, also zum Einheitskreis gehört.



Definition  

Die Abbildung

die einem Punkt die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet, heißt Kegelabbildung.