Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Algebraische Eigenschaften/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Überlagerung zwischen riemannschen Flächen der Blätterzahl ${}n$. Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion auf ${}Y$. Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ mit der Eigenschaft, dass

${}\pi ^{-1}(U)=\biguplus _{i=1}^{n}V_{i}\,$

und ${}\pi _{i}\colon V_{i}\rightarrow U$ biholomorph sind, betrachten wir auf ${}U$ die meromorphen Funktionen

${}f_{i}:=f\circ \pi _{i}^{-1}\,.$

Dann sind die elementar-symmetrischen Polynome ${}E_{j}(f_{1},\ldots ,f_{n})$, ${},j=1,\ldots ,n$, in den ${}f_{i}$ wohldefinierte meromorphe Funktionen auf ganz ${}X$.

Beweis

Auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ mit der formulierten Eigenschaft kann man ${}f_{i}$ über ${}f_{i}\circ \pi$ auch als Funktionen auf ${}\pi ^{-1}(U)$ auffassen, die invariant unter der Vertauschung der Kopien oberhalb von ${}U$ sind. Die Funktionen ${}E_{j}(f_{1},\ldots ,f_{n})$ sind aufgefasst auf ${}\pi ^{-1}(U)$ ebenfalls invariant unter einer Vertauschung der Indizes ${}i$ und man kann sie daher unmittelbar als meromorphe Funktionen auf ${}U$ auffassen. Zu einer anderen offenen Menge mit der formulierten Eigenschaft erhält man jeweils die gleiche Funktion, da die Nummerierung der Urbilder keine Rolle spielt.

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Lemma

Es sei ${}\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Überlagerung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen der Blätterzahl ${}n$. Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion auf ${}Y$.

Dann erfüllt ${}f$ eine algebraische Gleichung über dem Körper der meromorphen Funktionen von ${}X$ vom Grad ${}n$.

Beweis

Wir betrachten die meromorphen Funktionen ${}f_{i}$ im Sinne von Fakt und das Polynom

$\prod _{i=1}^{n}(T-f_{i})=T^{n}-E_{1}(f)T^{n-1}\pm \ldots \pm E_{n-1}(f_{1},\ldots ,f_{n})T\pm E_{n}(f)\,,$

wobei die ${}E_{j}(f)$ die elementar-symmetrischen Polynome in den ${}f_{i}$ sind, die auf ganz ${}X$ definiert sind. Diese sind meromorphe Funktionen auf ${}X$, das Polynom gehört zum Polynomring über dem Körper der meromorphen Funktionen zu ${}X$ und die Faktorzerlegung existiert über dem Körper der meromorphen Funktionen zu ${}U$ bzw. zu ${}\pi ^{-1}(U)$. Wenn man in dieses Polynom ${}f$ einsetzt, so erhält man die Nullfunktion, da man dies auf den offenen Mengen ${}V_{i}$ lokal überprüfen kann. D.h. ${}f$ erfüllt eine algebraische Gleichung vom Grad ${}n$ über dem Körper der meromorphen Funktionen von ${}X$.

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Lemma

Es sei ${}\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen der Blätterzahl ${}n$. Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion auf ${}Y$.

Dann erfüllt ${}f$ eine algebraische Gleichung über dem Körper der meromorphen Funktionen von ${}X$ vom Grad ${}n$.

Beweis

Dies kann man nach der Herausnahme von diskreten Punktmengen in ${}X$ und in ${}Y$ auf die unverzweigte Situation ${}Y'\rightarrow X'$ zurückführen und Fakt verwenden. Man beachte, dass in dieser Situation die elementar-symmetrischen Funktionen auf ${}X'$ sich auf ganz ${}X$ meromorph fortsetzen lassen. Die Gültigkeit der algebraischen Gleichung liegt nach dem Identitätssatz auf ganz ${}Y$ vor, da sie auf einer offenen Teilmenge gilt.

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Lemma

Es sei ${}\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen der Blätterzahl ${}n$.

Dann ist

${}{\mathcal {M}}(X)\subseteq {\mathcal {M}}(Y)\,$

eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}\leq n$.

Beweis

Nehmen wir an, dass eine Körpererweiterung

${}{\mathcal {M}}(X)\subseteq {\mathcal {M}}(Y)\,$

vorliegt, deren Grad unendlich ist oder endlich ist mit einem Grad, der größer als ${}n$ ist. Im ersten Fall gibt es nach Fakt innerhalb von ${}{\mathcal {M}}(Y)$ eine unendliche Kette von endlichen Körpererweiterungen

${}{\mathcal {M}}(X)\subset {\mathcal {M}}(X)[f_{1}]\subset {\mathcal {M}}(X)[f_{1},f_{2}]\subset \ldots \,,$

es gibt dann also auch (wie sowieso im zweiten Fall) eine endliche Körpererweiterung

${}{\mathcal {M}}(X)\subset L\subseteq {\mathcal {M}}(Y)\,,$

deren Grad über ${}{\mathcal {M}}(X)$ größer als ${}n$ ist. Nach Fakt gibt es ein ${}f\in L$, das ${}L$ erzeugt, also

${}L={\mathcal {M}}(X)[f]\,.$

Dabei ist der Grad des irreduziblen Minimalpolynoms von ${}f$ gleich dem Grad der Körpererweiterung im Widerspruch zu Fakt.

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Satz

Es sei ${}\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen der Blätterzahl ${}n$.

Dann ist

${}{\mathcal {M}}(X)\subseteq {\mathcal {M}}(Y)\,$

eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$.

Beweis

Die Abschätzung, dass der Grad der Körpererweiterung höchstens ${}n$ ist, wurde in Fakt bewiesen.

Es sei nun

${}{\mathcal {M}}(Y)={\mathcal {M}}(X)[g]\,$

und es ist zu zeigen, dass das Minimalpolynom von ${}g$ den Grad ${}n$ besitzt. Angenommen, das Minimalpolynom

${}H=T^{m}+a_{m-1}T^{m-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,$

mit ${}a_{j}\in {\mathcal {M}}(X)$ (aufgefasst in ${}{\mathcal {M}}(Y)$) hat Grad ${}m<n$. Es sei ${}Q\in X$ ein Punkt, über dem keine Verzweigung stattfindet, wo die ${}a_{j}$ holomorph sind und worüber ${}g$ holomorph ist. Es gibt dann Urbildpunkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in Y$. Diese erfüllen die Gleichung

${}0=H(g)(P_{i})={\left(\sum _{j=0}^{m}a_{j}g^{j}\right)}(P_{i})=\sum _{j=0}^{m}a_{j}(P_{i})g^{j}(P_{i})=\sum _{j=0}^{m}a_{j}(Q)g(P_{i})^{j}\,.$

D.h. die Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ haben die Eigenschaft, dass alle Werte ${}g(P_{i})$ Nullstellen des Polynoms ${}\sum _{j=0}^{m}a_{j}(Q)T^{j}$ sind. Da es nur ${}m$ Nullstellen gibt, muss beispielsweise ${}g(P_{1})=g(P_{2})$ sein. Da ${}g$ jedoch zusammen mit ${}{\mathcal {M}}(X)$ den Körper der meromorphen Funktionen auf ${}Y$ erzeugt, haben ${}P_{1}$ und ${}P_{2}$ für beliebige meromorphe Funktionen den gleichen Wert. Doch das widerspricht dem Beweis von Fakt.

$\Box$