Taylorentwicklung/R/Eine Variable/Einführung/Textabschnitt

Brook Taylor (1685-1731)

Bisher haben wir nur Potenzreihen der Form ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}$ betrachtet; die Variable ${}x$ darf jetzt auch durch die „verschobene Variable“ $x-a$ ersetzt werden, um das lokale Verhalten im Entwicklungspunkt ${}a$ beschreiben zu können. Konvergenz bedeutet in diesem Fall, dass es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für

${}x\in ]a-\epsilon ,a+\epsilon [\,$

die Reihe konvergiert. In dieser Situation ist die durch die Potenzreihe dargestellte Funktion wieder differenzierbar und die Ableitung wird durch die summandenweise genommene Ableitung wie in Fakt beschrieben. Zu einer konvergenten Potenzreihe

${}f(x):=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}\,$

bilden die Teilpolynome ${}\sum _{k=0}^{n}c_{k}(x-a)^{k}$ polynomiale Approximationen für die Funktion ${}f$ im Punkt ${}a$. Ferner ist ${}f$ in ${}a$ beliebig oft differenzierbar und die Ableitungen im Punkt ${}a$ lassen sich direkt aus der Potenzreihe ablesen, und zwar ist

${}f^{(n)}(a)=n!c_{n}\,.$

Wir fragen uns nun umgekehrt, inwiefern man aus den höheren Ableitungen einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion approximierende Polynome (oder eine Potenzreihe) erhalten kann. Dies ist der Inhalt der Taylor-Entwicklung.

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}n$-mal differenzierbare Funktion und ${}a\in I$. Dann heißt

${}T_{a,n}(f)(x):=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\,$

das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$.

Es ist also

${}T_{a,0}(f)(x):=f(a)\,$

die konstante Approximation,

${}T_{a,1}(f)(x):=f(a)+f'(a)(x-a)\,$

die lineare Approximation, wie sie im Konzept der linearen Approximierbarkeit vorkommt,

${}T_{a,2}(f)(x):=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2}}(x-a)^{2}\,$

die quadratische Approximation,

${}T_{a,3}(f)(x):=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{\prime \prime \prime }(a)}{6}}(x-a)^{3}\,$

die Approximation vom Grad ${}3$, u.s.w. Das Taylor-Polynom zum Grad ${}n$ ist dasjenige (eindeutig bestimmte) Polynom vom Grad ${}\leq n$, das mit ${}f$ an der Stelle ${}a$ bis zur ${}n$-ten Ableitung übereinstimmt.

Satz

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}(n+1)$-mal differenzierbare Funktion und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls.

Dann gibt es zu jedem Punkt ${}x\in I$ ein ${}c\in I$ mit

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

Dabei kann ${}c$ zwischen ${}a$ und ${}x$ gewählt werden.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Sei ${}x\neq a$ fixiert. In Anlehnung an die zu beweisende Aussage betrachten wir zu ${}r\in \mathbb {R}$ den Ausdruck

$g_{r}(u):=f(x)-f(u)-f'(u)\cdot (x-u)-{\frac {f^{(2)}(u)}{2!}}(x-u)^{2}-\ldots -{\frac {f^{(n)}(u)}{n!}}(x-u)^{n}-{\frac {r}{(n+1)!}}(x-u)^{n+1}\,,$

den wir als Funktion in ${}u\in I$ auffassen. Es ist ${}g_{r}(x)=0$ und wir wählen ${}r$ so, dass ${}g_{r}(a)=0$ ist, was möglich ist. Die Funktion

${}g(u):=g_{r}(u)\,$

ist auf dem Teilintervall ${}{]a,x[}\subseteq I$ (bzw. $]x,a[$, falls ${}x<a$ ist.) differenzierbar (nach ${}u$) und besitzt an den beiden Intervallgrenzen den Wert ${}0$. Nach dem Satz von Rolle gibt es ein ${}c\in {]a,x[}$ mit ${}g'(c)=0$.

Aufgrund der Produktregel und der Kettenregel ist (Ableitung nach ${}u$)

${\left({\frac {f^{(k)}(u)}{k!}}(x-u)^{k}\right)}'={\frac {f^{(k+1)}(u)}{k!}}(x-u)^{k}-{\frac {f^{(k)}(u)}{(k-1)!}}(x-u)^{k-1}\,.$

Daher heben sich in der Ableitung von ${}g$ die meisten Terme weg und es ergibt sich

${}g'(u)=-{\frac {f^{(n+1)}(u)}{n!}}(x-u)^{n}+{\frac {r}{n!}}(x-u)^{n}\,.$

Aus der Gleichung

${}0=g'(c)=-{\frac {f^{(n+1)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}+{\frac {r}{n!}}(x-c)^{n}\,$

folgt ${}r=f^{(n+1)}(c)$. Wenn wir dies und ${}u=a$ in die Anfangsgleichung einsetzen und ${}g_{r}(a)=0$ ausnutzen, so ergibt sich die Behauptung.

$\Box$

 

Die reelle Sinusfunktion zusammen mit verschiedenen approximierenden Taylorpolynomen (von ungeradem Grad).

Korollar

Es sei ${}I$ ein beschränktes abgeschlossenes Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion, ${}a\in I$ ein innerer Punkt und ${}B:={\max {\left(\vert {f^{(n+1)}(c)}\vert ,c\in I\right)}}$.

Dann gilt zwischen ${}f(x)$ und dem ${}n$-ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung

${}\vert {f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}\vert \leq {\frac {B}{(n+1)!}}\vert {x-a}\vert ^{n+1}\,.$

Beweis

Die Zahl ${}B$ existiert aufgrund von Fakt, da nach Voraussetzung die ${}(n+1)$-te Ableitung ${}f^{(n+1)}$ stetig auf dem kompakten Intervall ${}I$ ist. Die Aussage folgt somit direkt aus Fakt.

$\Box$