Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Kernbündel/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}r\in \mathbb {N}$. Ein reelles Vektorbündel ${}V$ vom Rang ${}r$ ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung ${}p\colon V\rightarrow X$ derart, dass jede Faser ${}p^{-1}(x)$ ein ${}r$-dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen

$\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$

über ${}U_{i}$ gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus

${\left(\varphi _{i}\right)}_{x}\colon p^{-1}(x)\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}$

induzieren.

Dabei nennt man ${}V$ auch den Totalraum und ${}X$ den Basisraum des Vektorbündels. Für die Faser schreibt man oft auch ${}V_{x}=p^{-1}(x)$.

In der Homöomorphie ${}p^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}$ ist die rechte Seite mit der Produkttopologie und der ${}\mathbb {R} ^{r}$ mit der natürlichen euklidischen Topologie und ${}p^{-1}(U)$ ist mit der induzierten Topologie von ${}V$ versehen. Somit tragen alle Fasern ${}V_{x}$ die natürliche Topologie eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes. Mit Homöomorphismus über ${}U$ ist gemeint, dass das Diagramm

${\begin{matrix}p^{-1}(U)&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&U\times \mathbb {R} ^{n}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&U&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Das Produkt ${}X\times \mathbb {R} ^{r}$ ist ein Vektorbündel, das das triviale Vektorbündel heißt. Eine lineare Homöomorphie ${}p^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}$ heißt eine (lokale) Trivialisierung. Die Einschränkung eines Vektorbündels auf die ${}U_{i}$ ist trivial, lokal ist also jedes Vektorbündel trivial. Ein Vektorbündel vom Rang ${}1$ heißt auch Geradenbündel.

Bemerkung  

Ein reelles Vektorbündel ${}p\colon V\rightarrow X$ über einem topologischen Raum ${}X$ kann man auch nur unter Bezug auf eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

und Trivialisierungen

$\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$

definieren, wenn man fordert, dass die Übergangsabbildungen (die sich über ${}p^{-1}(U_{i}\cap U_{j})$ ergeben)

$\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}\colon U_{i}\cap U_{j}\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow U_{i}\cap U_{j}\times \mathbb {R} ^{r}$

linear in der Vektorraumkomponente ist. Dies ergibt eine Vektorraumstruktur in jeder Faser, wofür man eine beliebige Trivialisierung heranzieht.

Lemma

Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum ${}X$.

Dann ist zu jeder offenen Menge ${}W\subseteq X$ die Einschränkung

$p^{-1}(W)\longrightarrow W$

ebenfalls ein Vektorbündel.

Beweis

Dies ist klar, man muss einfach nur die faserweise linearen Homöomorphismen

$\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$

zu

$\varphi _{i}{|}_{W\cap U_{i}}\colon p^{-1}{\left(W\cap U_{i}\right)}\longrightarrow {\left(W\cap U_{i}\right)}\times \mathbb {R} ^{r}$

einschränken.

$\Box$

Definition

Es seien ${}E$ und ${}F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum ${}X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ${}\varphi \colon E\rightarrow F$ ist eine stetige Abbildung über ${}X$ derart, dass für jeden Punkt ${}x\in X$ die induzierte Abbildung

$\varphi _{x}\colon E_{x}\longrightarrow F_{x}$

${}\mathbb {R}$-linear ist.

Die folgende Beobachtung erlaubt die Konstruktion einer Vielzahl von Vektorbündeln.

Bemerkung  

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in C^{0}(X,\mathbb {R} )$ reellwertige stetige Funktionen auf ${}X$. Diese definieren eine Abbildung

$X\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow X\times \mathbb {R} ,\,(P,t_{1},\ldots ,t_{n})\longmapsto (P,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)t_{i}),$

zwischen dem trivialen Vektorbündel vom Rang ${}n$ über ${}X$ und dem trivialen Vektorbündel vom Rang ${}1$ über ${}X$. Diese Abbildung ist stetig und über jedem Punkt ${}P\in X$ liegt die Linearform ${}\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ zur Zeilenmatrix ${}\left(f_{1}(P),\,\ldots ,\,f_{n}(P)\right)$ vor, daher handelt es sich um einen Homomorphismus von Vektorbündeln. Über den Kern ergibt sich in jeder Faser ${}\mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum, der die Dimension ${}n-1$ besitzt, es sei denn, alle Funktionen ${}f_{i}$ verschwinden simultan im Punkt ${}P$. Es sei ${}D(f_{i})={\left\{P\in X\mid f_{i}(P)\neq 0\right\}}$, dann ist ${}U=\bigcup _{i=1}^{n}D(f_{i})\subseteq X$ die offene Teilmenge, auf der zumindest ein ${}f_{i}$ nicht verschwindet und wo somit die Kerne stets die Dimension ${}n-1$ besitzen. Das Kernbündel ${}E$ zu den ${}f_{i}$ ist nun das Vektorbündel auf ${}U$, das faserweise durch die Kerne bestimmt ist, also

${}E={\left\{(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\mid P\in U,\,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)t_{i}=0\right\}}\subseteq U\times \mathbb {R} ^{n}\,.$

Gemäß Aufgabe gibt es Trivialisierungen über ${}D(f_{i})$ und es handelt sich in der Tat um ein Vektorbündel.

Beispiel

Wir betrachten über dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ,\,(x,y;s,t)\longmapsto (x,y;xs+yt),$

als ein Homomorphismus von Vektorbündeln im Sinne von Bemerkung. Die einzige gemeinsame Nullstelle der beiden Koordinatenfunktionen ${}x,y$ ist der Ursprungspunkt ${}(0,0)$, somit ist ${}U=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ und das zugehörige Kernbündel ist

${}E={\left\{(P;s,t)\mid P\in U,\,xs+yt=0\right\}}\subseteq U\times \mathbb {R} ^{2}\,.$

Es besteht aus einer Familie von Geraden in einer Ebene, wobei die Geraden sich mit dem Basispunkt ${}P=(x,y)$ bewegen.

Beispiel

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Der Tangentialraum ${}T_{P}Y$ zu ${}P\in Y$ ist der Kern des totalen Differentials ${}\left(Dh\right)_{P}$, das durch die partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P)$ gegeben ist und daher als ${}(n-1)$-linearer Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{n}$ vorliegt, siehe auch Fakt. Wir betrachten die Abbildung

$Y\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow Y\times \mathbb {R} ,\,(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\longmapsto (P;\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P)t_{i})$

und das zugehörige Kernbündel

${}E={\left\{(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\mid P\in Y,\,\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P)t_{i}=0\right\}}\subseteq Y\times \mathbb {R} ^{n}\,.$

im Sinne von Bemerkung. Dieses Bündel stimmt unmittelbar faserweise mit den Tangentialräumen an ${}Y$ überein. Es handelt sich aber in der Tat um das Tangentialbündel, wie der Vergleich mit Aufgabe ergibt.

Definition

Es seien ${}E$ und ${}F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum ${}X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ${}\varphi \colon E\rightarrow F$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomophismus ${}\psi \colon F\rightarrow E$ gibt, der verknüpft mit ${}\varphi$ (in beiden Reihenfolgen) die Identität ergibt.