Beringter Raum/Invertierbare Garben/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Modul ${}{\mathcal {L}}$ auf einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass die Einschränkungen ${}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}$ isomorph zu ${}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$ sind.

Eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt trivial, wenn sie isomorph zur Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ ist.

Beispiel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen ${}C(-,\mathbb {R} )$ und ${}L\rightarrow X$ eine reelles Geradenbündel auf ${}X$ . Dann ist die Garbe der stetigen Schnitte ${}S$ im Sinne von Beispiel ein invertierbarer ${}C(-,\mathbb {R} )$ -Modul. Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ mit einer Trivialisierung ${}L{|}_{U}\cong \mathbb {R} \times U$ ist ja ${}S(U,L{|}_{U})\cong C(U,\mathbb {R} )$ ,

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum über ${}K$ . Die Strukturgarbe ist für jede offene Teilmenge ${}U$ eine Teilmenge des Funktionenkörpers

{}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}\subseteq K({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}})\,.

Wegen der Faktorialität des Polynomringes gibt es zu jedem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ ein bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig bestimmtes homogenes Polynom ${}f$ von maximalem Grad ohne mehrfache Faktoren mit

{}D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq D_{+}(f)\,

(daei ist hier ${}f=1$ erlaubt, wobei dann allerdings die Schreibweise ${}D_{+}(f)$ nicht verwendet wird.). Wegen Fakt ist der globale Schnittring gleich

{}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=\Gamma {\left(D_{+}(f),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)}_{0}\subseteq K({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}})\,.

Sei ${}\ell \in \mathbb {Z}$ fixiert. Wir definieren eine Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )$ durch

{}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\right)}=\Gamma {\left(D_{+}(f),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\right)}:={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)}_{\ell }\,.

Dabei handelt es sich um eine invertierbare Garbe. Auf ${}D_{+}(X_{0})$ (und ebenso auf den $D_{+}(X_{i})$ ) ist nämlich

{\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}\longrightarrow {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{\ell },\,{\frac {F}{G}}\longmapsto X_{0}^{\ell }\cdot {\frac {F}{G}},

ein ${}{\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}$ -Modulisomorphismus, der sich auf die kleineren offenen Teilmengen überträgt. Die globale Auswertung auf dem projektiven Raum ist einfach ${}{\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}_{\ell }$ , was zeigt, dass (bei ${}n\geq 1$ ) diese invertierbaren Garben zu ${}\ell \geq 0$ nicht zueinander isomorph sind (das stimmt für alle ${}\ell$ ).

Definition

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ , einer invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}X$ und einem globalen Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ nennt man

{}X_{s}:={\left\{P\in X\mid s_{P}\notin {\mathfrak {m}}_{P}{\mathcal {L}}_{P}\right\}}\,

den Invertierbarkeitsort von ${}s$ .

Das Komplement ${}X\setminus X_{s}$ , also das Nullstellengebilde des Schnittes, bezeichnen wir mit ${}Z(s)$ .

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum, ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ und ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein globaler Schnitt.

Dann ist der Invertierbarkeitsort ${}X_{s}\subseteq X$ offen.

Beweis

Dies folgt durch eine lokale Betrachtung aus Fakt.

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Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ . Es sei ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein globaler Schnitt mit dem Invertierbarkeitsort ${}X_{s}$ .