Beringter Raum/Invertierbare Garben/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Ein -Modul auf einem beringten Raum heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung derart gibt, dass die Einschränkungen isomorph zu sind.


Eine invertierbare Garbe auf einem beringten Raum heißt trivial, wenn sie isomorph zur Strukturgarbe ist.



Beispiel  

Es sei ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen und eine reelles Geradenbündel auf . Dann ist die Garbe der stetigen Schnitte im Sinne von Beispiel ein invertierbarer -Modul. Zu einer offenen Menge mit einer Trivialisierung ist ja ,



Beispiel  

Es sei ein Körper und der projektive Raum über . Die Strukturgarbe ist für jede offene Teilmenge eine Teilmenge des Funktionenkörpers

Wegen der Faktorialität des Polynomringes gibt es zu jedem homogenen Ideal ein bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig bestimmtes homogenes Polynom von maximalem Grad ohne mehrfache Faktoren mit

(daei ist hier erlaubt, wobei dann allerdings die Schreibweise nicht verwendet wird.). Wegen Fakt ist der globale Schnittring gleich

Sei fixiert. Wir definieren eine Garbe durch

Dabei handelt es sich um eine invertierbare Garbe. Auf (und ebenso auf den ) ist nämlich

ein -Modulisomorphismus, der sich auf die kleineren offenen Teilmengen überträgt. Die globale Auswertung auf dem projektiven Raum ist einfach , was zeigt, dass (bei ) diese invertierbaren Garben zu nicht zueinander isomorph sind (das stimmt für alle ).



Definition  

Zu einem lokal beringten Raum , einer invertierbaren Garbe auf und einem globalen Schnitt nennt man

den Invertierbarkeitsort von .

Das Komplement , also das Nullstellengebilde des Schnittes, bezeichnen wir mit .



Lemma  

Es sei ein lokal beringter Raum, eine invertierbare Garbe auf und ein globaler Schnitt.

Dann ist der Invertierbarkeitsort offen.

Beweis  

Dies folgt durch eine lokale Betrachtung aus Fakt.




Lemma  

Es sei ein lokal beringter Raum und eine invertierbare Garbe auf . Es sei ein globaler Schnitt mit dem Invertierbarkeitsort .

Dann ist die Einschränkung trivial.

Beweis  

Der globale Schnitt gibt nach Fakt Anlass zu einem Modulhomomorphismus

und insbesondere zu einem Modulhomomorphismus

Für jeden Punkt ist dies ein Isomorphismus, daher ist nach Fakt ebenfalls ein Isomorphismus.