Borel-Lebesgue-Maß/Translationsinvarianz/Textabschnitt

Satz

Das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{n}$ auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$

ist translationsinvariant.

Beweis

Zu ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ betrachten wir die Translationsabbildung

$\varphi _{v}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto P+v.$

Es sei ${}\mu :=(\varphi _{v})_{*}\lambda ^{n}$ das Bildmaß unter der Translationsabbildung. Dieses ist wieder ein ${}\sigma$-endliches Maß. Für jeden Quader ${}Q=[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[$ ist ${}Q'=Q+v$ bzw. ${}{\tilde {Q}}=Q-v$ wieder ein achsenparalleler Quader, wobei sich die Seitenlängen nicht ändern. Daher ist

${}\mu (Q)=((\varphi _{v})_{*}\lambda ^{n})(Q)=\lambda ^{n}(\varphi _{v}^{-1}(Q))=\lambda ^{n}(Q-v)=\lambda ^{n}({\tilde {Q}})=\lambda ^{n}(Q)\,.$

Das Maß ${}\mu$ stimmt also auf den Quadern mit ${}\lambda ^{n}$ überein und daher ist nach Fakt überhaupt

${}\mu =\lambda ^{n}\,.$

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Die Translationsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes kann man auch so formulieren, dass jede Translation eine maßtreue Abbildung ist.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und seien linear unabhängige Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ gegeben. Dann nennt man

${}P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$

das von den ${}v_{i}$ erzeugte Parallelotop.

Lemma

Es sei ${}\mu$ ein translationsinvariantes Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$, das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei ${}U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein echter Untervektorraum.

Dann ist ${}\mu (U)=0$.

Beweis

 Es sei ${}U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum der Dimension ${}d<n$ und nehmen wir an, dass ${}\mu (U)>0$ ist. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{d}$ eine Basis von ${}U$ und

${}P={\left\{a_{1}u_{1}+\cdots +a_{d}u_{d}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$

das davon erzeugte ${}d$-dimensionale Parallelotop. Dies lässt sich durch endlich viele verschobene Einheitswürfel überpflastern und besitzt demnach ein endliches Maß. Die verschobenen Parallelotope

$P_{k}=P+k_{1}u_{1}+\cdots +k_{d}u_{d},\,k=(k_{1},\ldots ,k_{d})\in \mathbb {Z} ^{d}$

besitzen wegen der Translationsinvarianz alle dasselbe Maß und bilden eine Überpflasterung von ${}U$. Da es abzählbar viele sind, muss ${}\mu (P)>0$ gelten. Es sei nun ${}u_{d+1},\ldots ,u_{n}$ eine Ergänzung der Basis zu einer Basis von ${}V$, und sei

${}R={\left\{a_{1}u_{1}+\cdots +a_{d}u_{d}+\cdots +a_{n}u_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$

das zugehörige ${}n$-dimensionale Parallelotop. Für dieses ist

${}\mu (R)<\infty \,.$

Wir betrachten nun die abzählbar unendlich vielen Parallelotope

$P_{q}=P+qu_{n}{\text{ mit }}q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} .$

Diese liegen alle innerhalb von ${}R$ und besitzen wegen der Translationsinvarianz alle das gleiche Maß wie ${}P$. Ferner sind sie paarweise disjunkt, da andernfalls ein nichttriviales Vielfaches von ${}u_{n}$ zu ${}U$ gehören würde. Aus

${}\sum _{q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }\ \mu (P_{q})=\mu {\left(\bigcup _{q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }P_{q}\right)}\leq \mu (R)\,$

folgt ${}\mu (R)=\infty$, ein Widerspruch.

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Allgemein nennt man Unterräume (und zwar nicht nur Untervektorräume, sondern auch affine Unterräume, also verschobene Untervektorräume) des ${}\mathbb {R} ^{n}$ der Dimension ${}n-1$ Hyperebenen. Insbesondere besitzen Hyperebenen das Maß ${}0$.

Satz

Das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{n}$

ist das einzige translationsinvariante Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das auf dem Einheitswürfel den Wert ${}1$ besitzt.

Beweis

Das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{n}$ erfüllt nach Fakt diese Bedingungen. Es sei ${}\mu$ ein solches Maß. Nach Fakt ist es egal, ob diese Bedingung an den abgeschlossenen, den offenen oder einen halboffenen Einheitswürfel gestellt wird. Wir werden durchgehend mit rechtsseitig offenen Quadern arbeiten. Da der ${}\mathbb {R} ^{n}$ durch abzählbar viele Verschiebungen des Einheitswürfels überdeckt wird, die wegen der Translationsinvarianz von ${}\mu$ alle das gleiche Maß besitzen, ist ${}\mu$ ${}\sigma$-endlich. Wir müssen zeigen, dass ${}\mu$ mit ${}\lambda ^{n}$ übereinstimmt, wobei es aufgrund des Eindeutigkeitssatzes genügt, die Gleichheit auf einem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem für die Borelmengen nachzuweisen. Ein solches System bilden die Quader der Form ${}[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[$ mit rationalen Ecken. Wegen der Translationsinvarianz von ${}\mu$ besitzt ein solcher Quader das gleiche Maß wie der verschobene Quader ${}[0,b_{1}-a_{1}[\times \cdots \times [0,b_{n}-a_{n}[$. Wir schreiben einen solchen Quader unter Verwendung eines Hauptnenners als ${}Q=[0,{\frac {c_{1}}{m}}[\times \cdots \times [0,{\frac {c_{n}}{m}}[$ mit ${}m,c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {N}$. Dieser Quader setzt sich disjunkt aus ${}c_{1}\cdots c_{n}$ Quadern (nämlich ${}[{\frac {i_{1}}{m}},{\frac {i_{1}+1}{m}}[\times \cdots \times [{\frac {i_{n}}{m}},{\frac {i_{n}+1}{m}}[$ mit ${}i_{j}\in \{0,\ldots ,c_{j}-1\}$) zusammen, die alle das gleiche ${}\mu$-Maß haben, da sie ineinander verschoben werden können. Das ${}\mu$-Maß des Quaders ${}Q$ ist also das ${}c_{1}\cdots c_{n}$-fache des ${}\mu$-Maßes des Quaders ${}{\tilde {Q}}=[0,{\frac {1}{m}}[\times \cdots \times [0,{\frac {1}{m}}[$. Da sich der Einheitswürfel aus ${}m^{n}$ verschobenen Kopien dieses kleineren Würfels zusammensetzt, muss ${}\mu ({\tilde {Q}})={\frac {1}{m^{n}}}$ und damit

${}\mu (Q)=c_{1}\cdots c_{n}\cdot {\frac {1}{m^{n}}}=\lambda ^{n}(Q)\,$

sein.

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Korollar

Es sei ${}\nu$ ein translationsinvariantes Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$, das auf dem Einheitswürfel ein endliches Maß habe.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit ${}\nu =c\lambda ^{n}$.

Beweis

Es sei ${}c=\nu (E)$, wobei ${}E$ der Einheitswürfel im ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei. Wenn ${}c=0$ ist, so liegt das Nullmaß vor, da sich der ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit abzählbar vielen verschobenen Einheitswürfeln überdecken lässt, die wegen der Translationsinvarianz ebenfalls das Maß ${}0$ haben. Dann hat der Gesamtraum das Maß ${}0$ und damit hat jede messbare Teilmenge das Maß ${}0$. Es sei also ${}c\neq 0$. In diesem Fall betrachten wir das durch

${}\mu (T):={\frac {1}{c}}\nu (T)\,$

definierte (umskalierte) Maß. Dieses ist nach wie vor translationsinvariant und besitzt auf dem Einheitswürfel den Wert ${}1$. Nach Fakt ist also ${}\mu =\lambda ^{n}$ und somit ist ${}\nu =c\lambda ^{n}$.

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