Charakteristik 0/Auflösbare Körpererweiterung/Auflösbare Gruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zuerst die Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  auflösbar, und zwar sei  ${}L\subseteq M$  eine Körpererweiterung derart, dass  ${}K\subseteq M$  eine Radikalerweiterung ist. Es sei ${}m$ dabei ein gemeinsamer „Radikalexponent“ der beteiligten einfachen Radikalerweiterungen. Da wir in Charakteristik ${}0$ sind, können wir zu ${}M$ eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ adjungieren und erhalten eine ${}m$-Radikalerweiterung  ${}K\subseteq M'=M(\zeta )$.  Wir ersetzen ${}M'$ durch seine normale Hülle ${}M^{\prime \prime }$, die nach Fakt ebenfalls eine ${}m$-Radikalerweiterung von ${}K$ ist. Da wir in Charakteristik ${}0$ sind, ist  ${}K\subseteq M^{\prime \prime }$  eine Galoiserweiterung. Wir können also davon ausgehen, dass eine Kette

${}K=L_{0}\subseteq K(\zeta )=L_{1}\subseteq L_{2}\subseteq \ldots \subseteq L_{k}=M\,$

vorliegt, wobei  ${}K\subseteq M$  galoissch ist und wo die sukzessiven Körpererweiterungen  ${}L_{i}\subseteq L_{i+1}$  einfache Radikalerweiterungen sind. Es sei  ${}G=\operatorname {Gal} \,(M{|}K)$  und wir setzen

${}G_{i}=\operatorname {Gal} \,(M{|}L_{i})\,.$

Dabei gelten nach Fakt  (2) die natürlichen Inklusionen

${}G_{k}=\{\operatorname {Id} \}\subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k-2}\subseteq \ldots \subseteq G_{1}\subseteq G_{0}=G\,.$

Da die Zwischenerweiterungen  ${}L_{i}\subseteq L_{i+1}$  für  ${}i\geq 1$  einfache Radikalerweiterungen und in ${}L_{1}$ die benötigten Einheitswurzeln vorhanden sind, folgt aus Fakt, dass es sich um Galoiserweiterungen mit abelscher Galoisgruppe handelt. Aufgrund von Fakt  (2) sind daher die ${}G_{i+1}$ Normalteiler in ${}G_{i}$ und die Restklassengruppen ${}G_{i}/G_{i+1}$ sind kommutativ. Die Erweiterung  ${}K\subseteq K(\zeta )=L_{1}$  besitzt nach Aufgabe ebenfalls eine abelsche Galoisgruppe. Daher liegt insgesamt eine Filtrierung vor, die ${}G$ als auflösbar erweist. Da  ${}K\subseteq L$  eine Galoiserweiterung ist, gilt wieder nach Fakt die Beziehung

${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)=G/\operatorname {Gal} \,(M{|}L)\,,$

sodass auch ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ wegen Fakt eine auflösbare Gruppe ist.

Es sei nun vorausgesetzt, dass die Galoisgruppe  ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$  auflösbar ist, und sei

${}\{\operatorname {Id} \}=G_{k}\subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k-2}\subseteq \ldots \subseteq G_{1}\subseteq G_{0}=G\,$

eine Filtrierung mit Untergruppen derart, dass jeweils  ${}G_{i+1}\subseteq G_{i}$  ein Normalteiler ist mit abelscher Restklassengruppe ${}G_{i}/G_{i+1}$. Wir setzen  ${}L_{i}=\operatorname {Fix} \,(G_{i})$,  sodass nach Fakt  (1) und Fakt die Körperkette

${}K=L_{0}\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{k}=L\,$

vorliegt. Dabei sind nach Fakt die Körpererweiterungen  ${}L_{i}\subseteq L$  galoissch, und ihre Galoisgruppen sind ${}G_{i}$ gemäß Fakt. Da die ${}G_{i+1}$ Normalteiler in ${}G_{i}$ sind, sind aufgrund von Fakt die Körpererweiterungen  ${}L_{i}\subseteq L_{i+1}$  galoissch mit Galoisgruppe  ${}\operatorname {Gal} \,(L_{i+1}{|}L_{i})=G_{i}/G_{i+1}$.  Diese sukzessiven Erweiterungen sind also Galoiserweiterungen mit abelscher Galoisgruppe. Es sei ${}m$ der Exponent von ${}G$. Es sei  ${}L\subseteq M$  ein ${}m$-ter Kreisteilungskörper, also ein Zerfällungskörper von ${}X^{m}-1$ über ${}L$, und sei ${}\zeta \in M$ eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel. Es ist somit  ${}M=L(\zeta )$.  Wir setzen  ${}M_{i}=L_{i}(\zeta )$  (innerhalb von ${}M$) und haben dann die Körperkette

${}K\subseteq M_{0}=K(\zeta )\subseteq M_{1}\subseteq \ldots \subseteq M_{k}=M\,.$

Hierbei gilt  ${}M_{i+1}=M_{i}L_{i+1}$.  Nach Fakt ist  ${}M_{i}\subseteq M_{i+1}$  ebenfalls galoissch, und es gilt die Untergruppenbeziehung

${}\operatorname {Gal} \,(M_{i+1}{|}M_{i})=\operatorname {Gal} \,(L_{i+1}{|}L_{i+1}\cap M_{i})\subseteq \operatorname {Gal} \,(L_{i+1}{|}L_{i})\,,$

sodass diese Galoisgruppen auch abelsch sind. Da die ${}m$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ zu ${}M_{0}$ gehört, sind die Erweiterungen  ${}M_{i}\subseteq M_{i+1}$  allesamt Kummererweiterungen und damit nach Fakt auch Radikalerweiterungen. Da auch  ${}K\subseteq M_{0}=K(\zeta )$  eine (einfache) Radikalerweiterung ist, ist insgesamt  ${}K\subseteq M$  eine Radikalerweiterung, die ${}L$ umfasst. Somit ist  ${}K\subseteq L$  auflösbar.

Zur bewiesenen Aussage