Charakteristik 0/Auflösbare Körpererweiterung/Auflösbare Gruppe/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei zuerst die Körpererweiterung auflösbar, und zwar sei eine Körpererweiterung derart, dass eine Radikalerweiterung ist. Es sei dabei ein gemeinsamer „Radikalexponent“ der beteiligten einfachen Radikalerweiterungen. Da wir in Charakteristik sind, können wir zu eine -te primitive Einheitswurzel adjungieren und erhalten eine -Radikalerweiterung . Wir ersetzen durch seine normale Hülle , die nach Fakt ebenfalls eine -Radikalerweiterung von ist. Da wir in Charakteristik sind, ist eine Galoiserweiterung. Wir können also davon ausgehen, dass eine Kette

vorliegt, wobei galoissch ist und wo die sukzessiven Körpererweiterungen einfache Radikalerweiterungen sind. Es sei und wir setzen

Dabei gelten nach Fakt  (2) die natürlichen Inklusionen

Da die Zwischenerweiterungen für einfache Radikalerweiterungen und in die benötigten Einheitswurzeln vorhanden sind, folgt aus Fakt, dass es sich um Galoiserweiterungen mit abelscher Galoisgruppe handelt. Aufgrund von Fakt  (2) sind daher die Normalteiler in und die Restklassengruppen sind kommutativ. Die Erweiterung besitzt nach Aufgabe ebenfalls eine abelsche Galoisgruppe. Daher liegt insgesamt eine Filtrierung vor, die als auflösbar erweist. Da eine Galoiserweiterung ist, gilt wieder nach Fakt die Beziehung

so dass auch wegen Fakt eine auflösbare Gruppe ist.

Sei nun vorausgesetzt, dass die Galoisgruppe auflösbar ist, und sei

eine Filtrierung mit Untergruppen derart, dass jeweils ein Normalteiler ist mit abelscher Restklassengruppe . Wir setzen , so dass nach Fakt  (1) und Fakt die Körperkette

vorliegt. Dabei sind nach Fakt die Körpererweiterungen galoissch, und ihre Galoisgruppen sind gemäß Fakt. Da die Normalteiler in sind, sind aufgrund von Fakt die Körpererweiterungen galoissch mit Galoisgruppe . Diese sukzessiven Erweiterungen sind also Galoiserweiterungen mit abelscher Galoisgruppe. Es sei der Exponent von . Es sei ein -ter Kreisteilungskörper, also ein Zerfällungskörper von über , und sei eine -te primitive Einheitswurzel. Es ist somit . Wir setzen (innerhalb von ) und haben dann die Körperkette

Hierbei gilt . Nach Fakt ist ebenfalls galoissch, und es gilt die Untergruppenbeziehung

so dass diese Galoisgruppen auch abelsch sind. Da die -te primitive Einheitswurzel zu gehört, sind die Erweiterungen allesamt Kummererweiterungen und damit nach Fakt auch Radikalerweiterungen. Da auch eine (einfache) Radikalerweiterung ist, ist insgesamt eine Radikalerweiterung, die umfasst. Somit ist auflösbar.

Zur bewiesenen Aussage