Es sei zuerst die Körpererweiterung
auflösbar, und zwar sei
eine Körpererweiterung derart, dass
eine Radikalerweiterung ist. Es sei
dabei ein gemeinsamer „Radikalexponent“ der beteiligten einfachen Radikalerweiterungen. Da wir in Charakteristik
sind, können wir zu
eine
-te
primitive Einheitswurzel
adjungieren
und erhalten eine
-Radikalerweiterung
.
Wir ersetzen
durch seine
normale Hülle
, die nach
Fakt
ebenfalls eine
-Radikalerweiterung von
ist. Da wir in Charakteristik
sind, ist
eine
Galoiserweiterung.
Wir können also davon ausgehen, dass eine Kette
-

vorliegt, wobei
galoissch ist und wo die sukzessiven Körpererweiterungen
einfache Radikalerweiterungen
sind. Es sei
und wir setzen
-

Dabei gelten nach
Fakt (2)
die natürlichen Inklusionen
-

Da die Zwischenerweiterungen
für
einfache Radikalerweiterungen und in
die benötigten Einheitswurzeln vorhanden sind, folgt aus
Fakt,
dass es sich um Galoiserweiterungen mit abelscher Galoisgruppe handelt. Aufgrund von
Fakt (2)
sind daher die
Normalteiler in
und die Restklassengruppen
sind kommutativ. Die Erweiterung
besitzt nach
Aufgabe
ebenfalls eine abelsche Galoisgruppe. Daher liegt insgesamt eine Filtrierung vor, die
als
auflösbar
erweist. Da
eine Galoiserweiterung ist, gilt wieder nach
Fakt
die Beziehung
-

sodass auch
wegen
Fakt
eine auflösbare Gruppe ist.
Es sei nun vorausgesetzt, dass die
Galoisgruppe
auflösbar
ist, und sei
-

eine Filtrierung mit Untergruppen derart, dass jeweils
ein
Normalteiler
ist mit
abelscher
Restklassengruppe
. Wir setzen
,
sodass nach
Fakt (1)
und
Fakt
die Körperkette
-

vorliegt. Dabei sind nach
Fakt
die Körpererweiterungen
galoissch,
und ihre
Galoisgruppen
sind
gemäß
Fakt.
Da die
Normalteiler in
sind, sind aufgrund von
Fakt
die Körpererweiterungen
galoissch mit Galoisgruppe
.
Diese sukzessiven Erweiterungen sind also
Galoiserweiterungen
mit
abelscher
Galoisgruppe. Es sei
der
Exponent
von
. Es sei
ein
-ter
Kreisteilungskörper,
also ein
Zerfällungskörper
von
über
, und sei
eine
-te
primitive Einheitswurzel.
Es ist somit
.
Wir setzen
(innerhalb von
)
und haben dann die Körperkette
-

Hierbei gilt
.
Nach
Fakt
ist
ebenfalls galoissch, und es gilt die Untergruppenbeziehung
-

sodass diese Galoisgruppen auch abelsch sind. Da die
-te primitive Einheitswurzel
zu
gehört, sind die Erweiterungen
allesamt
Kummererweiterungen
und damit nach
Fakt
auch
Radikalerweiterungen.
Da auch
eine
(einfache)
Radikalerweiterung ist, ist insgesamt
eine Radikalerweiterung, die
umfasst. Somit ist
auflösbar.