Dedekindbereich/Gebrochene Ideale/Bezug zu Divisoren/Korrespondenz/Textabschnitt

Definition

Zu einem gebrochenen Ideal  ${}{\mathfrak {f}}\neq 0$  in einem Dedekindbereich ${}R$ nennt man

${}{\mathfrak {f}}^{-1}:={\left\{q\in Q(R)\mid q\cdot {\mathfrak {f}}\subseteq R\right\}}\,$

das zugehörige inverse gebrochene Ideal.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu gebrochenen Idealen mit der Beziehung  ${}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}$  mit  ${}r\in Q(R)$,   ${}r\neq 0$,  gilt für die inversen gebrochenen Ideale die Beziehung  ${}{\mathfrak {g}}^{-1}=r^{-1}{\mathfrak {f}}^{-1}$. 
2. Zu einem gebrochenen Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ ist das inverse gebrochene Ideal in der Tat ein gebrochenes Ideal.
3. Es ist  ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {f}}^{-1}=R$. 

Beweis

1. Der ${}R$-Modulisomorphismus ${}{\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$, ${}f\longmapsto rf$, führt direkt zu einem Isomorphismus ${}{\mathfrak {f}}^{-1}\longrightarrow r^{-1}{\mathfrak {g}}^{-1}$, ${}q\longmapsto r^{-1}q$, da ja  ${}q{\mathfrak {f}}\subseteq R$  zu  ${}{\left(r^{-1}q\right)}{\left(r{\mathfrak {f}}\right)}\subseteq R$  äquivalent ist.
2. Es ist klar, dass ${}{\mathfrak {f}}^{-1}$ ein von ${}0$ verschiedener ${}R$-Untermodul von ${}Q(R)$ ist. Wenn ${}{\mathfrak {f}}$ durch ${}{\frac {a_{1}}{b_{1}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ erzeugt wird, so betrachten wir  ${}{\mathfrak {g}}={\frac {\mathfrak {f}}{a}}$  mit  ${}a=a_{1}\cdots a_{n}$,  wobei jetzt ${}{\mathfrak {g}}$ ein Erzeugendensystem der Form ${}{\frac {1}{c_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{c_{n}}}$ mit  ${}c_{i}\in R$  besitzt. Die Bedingung

   ${}q{\frac {1}{c_{i}}}\in R\,$

   impliziert  ${}q\in R$.  Daher ist das inverse gebrochene Ideal zu ${}{\mathfrak {g}}$ selbst ein Ideal, also endlich erzeugt. Dies überträgt sich wegen (1) auf ${}{\mathfrak {f}}$.

3. Für das Produkt ist offenbar

   ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {f}}^{-1}\subseteq R\,.$

   Wenn diese Inklusion echt wäre, so würde es auch ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ oberhalb von ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {f}}^{-1}$ geben. Es sei  ${}{\mathfrak {f}}_{\mathfrak {p}}=(\pi ^{n})$  mit einer Ortsuniformisierenden ${}\pi$ und mit  ${}n\in \mathbb {Z}$.  Es gibt dann auch ein Element  ${}f\in {\mathfrak {f}}$,  das an der Stelle ${}{\mathfrak {p}}$ die Ordnung ${}n$ besitzt. Dazu gibt es auch ein  ${}q\in Q(R)$,  das an der Stelle ${}{\mathfrak {p}}$ die Ordnung ${}-n$ und sonst überall eine hinreichend große Ordnung besitzt derart, dass  ${}fq\in R$  ist. Dies ist ein Widerspruch, da ${}fg$ an der Stelle ${}{\mathfrak {p}}$ die Ordnung ${}0$ besitzt.

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Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ das Ideal

${}{\mathfrak {a}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,.$

Aufgrund der Gleichung

${}2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\,$

ist beispielsweise

${\frac {1-{\sqrt {-5}}}{2}}\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R,\,{\frac {3}{1+{\sqrt {-5}}}}\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R,\,1\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R.$

Wir behaupten, dass das inverse gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {a}}^{-1}$ gleich

${}{\mathfrak {f}}=R{\left(1,{\frac {1-{\sqrt {-5}}}{2}}\right)}\,$

ist, wobei sich die Inklusion  ${}{\mathfrak {f}}\subseteq {\mathfrak {a}}^{-1}$  aus der vorstehenden Zeile ergibt. Andererseits gilt wegen

${}-2\cdot 1+(1+{\sqrt {-5}}){\frac {1-{\sqrt {-5}}}{2}}=-2+3=1\,$

für das Produkt

${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {f}}=R\,,$

und dies impliziert nach Aufgabe die Gleichheit  ${}{\mathfrak {f}}={\mathfrak {a}}^{-1}$. 

Bemerkung  

Ein gebrochenes Ideal  ${}{\mathfrak {f}}\neq 0$  in einem Dedekindbereich ist ein sogenannter invertierbarer Modul. D.h. es ist lokal isomorph zum Ring selbst. Mit diesen Formulierungen ist folgendes gemeint: Für ein maximales Ideal (also für ein von ${}0$ verschiedenes Primideal) ${}{\mathfrak {p}}$ ist  ${}{\mathfrak {f}}R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {f}}_{\mathfrak {p}}$  (dies ist die Lokalisierung eines Moduls an einem Primideal) ein endlich erzeugter ${}R_{\mathfrak {p}}$-Modul ${}\neq 0$, der zugleich im Quotientenkörper liegt. Solche Moduln sind isomorph zu ${}R_{\mathfrak {p}}$. Siehe Aufgabe.

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und

${}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$

ein Divisor (wobei ${}{\mathfrak {p}}$ durch die Menge der Primideale ${}\neq 0$ läuft). Dann nennt man

${\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$

das gebrochene Ideal zum Divisor ${}D$. Es wird mit ${}\operatorname {Id} (D)$ bezeichnet.

Das folgende Lemma zeigt, dass man in der Tat ein gebrochenes Ideal erhält, und dass diese Definition mit der früheren Definition verträglich ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und  ${}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}$  ein Divisor.

Dann ist die Menge ${}{\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$ ein gebrochenes Ideal.

Ist ${}D$ ein effektiver Divisor, dann ist das so definierte gebrochene Ideal ein Ideal und stimmt mit dem Ideal überein, das einem effektiven Divisor gemäß der Definition zugeordnet wird.

Beweis

Es sei  ${}{\mathfrak {f}}={\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$.  Gemäß der Konvention, dass  ${}\operatorname {div} {\left(0\right)}=\infty$  zu interpretieren ist, ist  ${}0\in {\mathfrak {f}}$.  Für Elemente  ${}f_{1},f_{2}\in Q(R)$  mit  ${}\operatorname {div} {\left(f_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(f_{2}\right)}\geq D$  gilt nach Fakt

${}\operatorname {div} {\left(f_{1}+f_{2}\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(f_{2}\right)}\right)}}\geq D\,$

und

${}\operatorname {div} {\left(rf\right)}=\operatorname {div} {\left(r\right)}+\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\,$

für  ${}r\in R$,  da ja ${}\operatorname {div} {\left(r\right)}$ effektiv ist. Also liegt in der Tat ein ${}R$-Modul vor.

Bevor wir die endliche Erzeugtheit nachweisen, betrachten wir die zweite Aussage. Es sei also ${}E$ ein effektiver Divisor. Wir müssen zeigen, dass

${}{\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\right\}}={\left\{f\in R\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\right\}}\,$

ist, wobei die Inklusion ${}\supseteq$ klar ist. Die andere Inklusion folgt aus Fakt  (3).

Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit bemerken wir, dass es nach Fakt  (4) zu jedem Divisor ${}D$ ein  ${}r\in R$  derart gibt, dass  ${}D'=D+\operatorname {div} {\left(r\right)}$  effektiv ist. Das zu ${}D'$ gehörige gebrochene Ideal ist dann ein Ideal, also endlich erzeugt, und dies überträgt sich auf das gebrochene Ideal zu ${}D$.

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Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und  ${}{\mathfrak {f}}\neq 0$  ein von ${}0$ verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann nennt man den Divisor

${}\operatorname {div} ({\mathfrak {f}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$

mit

${}m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {f}},\,f\neq 0\right)\,$

den Divisor zum gebrochenen Ideal ${}{\mathfrak {f}}$.

Da das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ nach Definition endlich erzeugt ist, muss man das Minimum nur über eine endliche Menge nehmen. Insbesondere ist der zugehörige Divisor wohldefiniert. Für ein Ideal stimmt diese Definition offensichtlich mit der alten überein.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es sei ${}{\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal mit einer Darstellung  ${}{\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{h}}$  mit  ${}h\in R$  und einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$.  Dann ist

   ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {f}}\right)}=\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}-\operatorname {div} {\left(h\right)}\,.$

2. Zu einem Divisor ${}D$ mit  ${}E=D+\operatorname {div} {\left(h\right)}$  effektiv ist

   ${}\operatorname {Id} (D)={\frac {\operatorname {Id} (E)}{h}}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Auch die Einzelheiten des Beweises des folgenden Satzes überlassen wir dem Leser, siehe Aufgabe.

Satz

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Dann sind die Zuordnungen

${\mathfrak {f}}\longmapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {f}})\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,D\longmapsto \operatorname {Id} (D)$

zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von ${}0$ verschiedenen gebrochenen Ideale und der Menge der Divisoren. Diese Bijektion ist ein Isomorphismus von Gruppen.

Beweis

Wir müssen zeigen, dass die hintereinandergeschalteten Abbildungen jeweils die Identität ergeben. Dies kann man mittels Fakt auf den effektiven Fall zurückführen. Die Zuordnung ${}{\mathfrak {f}}\mapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {f}})$ führt die Multiplikation von gebrochenen Idealen in die Addition von Divisoren über, da dies an jedem diskreten Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ gilt. Wegen der Bijektivität liegt dann auch links eine Gruppe vor und die Abbildungen sind Gruppenisomorphismen.

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