Differenzierbare Kurven/Vektorraum/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und

eine Abbildung. Dann heißt in differenzierbar, wenn der Limes

existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von in und wird mit

bezeichnet.

Die Ableitung ist selbst wieder ein Vektor in . Statt Ableitung spricht man auch vom Differentialquotienten in einem (Zeit)-Punkt .


Definition  

Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und

eine Abbildung. Dann heißt differenzierbar, wenn in jedem Punkt differenzierbar ist. Die Abbildung

heißt dann die Ableitung von .

Die Ableitung einer differenzierbaren Kurve ist damit selbst wieder eine Kurve. Wenn die Ableitung stetig ist, so nennt man die Kurve stetig differenzierbar. Wenn die Ableitung selbst differenzierbar ist, so nennt man die Ableitung der Ableitung die zweite Ableitung der Ausgangskurve.

Das folgende Lemma zeigt, dass dieser Differenzierbarkeitsbegriff nichts wesentlich neues ist, da er auf die Differenzierbarkeit von Funktionen in einer Variablen zurückgeführt werden kann.



Lemma  

Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und

eine Abbildung. Es sei eine Basis von und es seien

die zugehörigen Komponentenfunktionen von . Es sei .

Dann ist genau dann differenzierbar in , wenn sämtliche Funktionen in differenzierbar sind.

In diesem Fall gilt

Beweis  

Sei und , . Es ist

Nach Aufgabe existiert der Limes links für genau dann, wenn der entsprechende Limes rechts komponentenweise existiert.



Beispiel  

Die Kurve

ist in jedem Punkt differenzierbar, und zwar ist




Lemma

Es sei ein reelles Intervall und ein euklidischer Vektorraum. Es seien

zwei in differenzierbare Kurven und es sei

eine in differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Summe
    ist in differenzierbar mit
  2. Das Produkt

    ist differenzierbar in mit

    Insbesondere ist für auch differenzierbar in mit

  3. Wenn nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion

    in differenzierbar mit

Beweis

Siehe Aufgabe.

Man kann natürlich zwei Abbildungen nicht miteinander multiplizieren, so dass in der obigen Produktregel eine differenzierbare Kurve und eine differenzierbare Funktion auftreten. Ebenso muss die Kettenregel mit Bedacht formuliert werden. Später werden wir noch eine allgemeinere Kettenregel kennenlernen.



Lemma  

Es seien und zwei reelle Intervalle, es sei

eine in differenzierbare Funktion und es sei

eine in differenzierbare Kurve in einen euklidischen Vektorraum .

Dann ist auch die zusammengesetzte Kurve

in differenzierbar und es gilt

Beweis  

Es seien die Komponentenfunktionen von bezüglich einer Basis von . Nach der Kettenregel in einer Variablen gilt

für jedes . Dies ist wegen Fakt die Behauptung.


In der vorstehenden Situation sollte man sich als eine Umparametrisierung der Zeit vorstellen. Die Bahn der Kurve bleibt erhalten, es ändert sich aber die Geschwindigkeit und eventuell die Richtung, mit der die Bahn durchlaufen wird. Wenn die Negation ist, so wird die Kurve mit umgekehrter Zeitrichtung durchlaufen. Die Aussage besagt in diesem Fall, dass die Ableitung der umgekehrten Kurve negiert werden muss.



Lemma  

Es sei ein reelles Intervall, und seien euklidische Vektorräume und es sei

eine differenzierbare Kurve. Es sei

eine lineare Abbildung.

Dann ist auch die zusammengesetzte Abbildung

differenzierbar und es gilt

Beweis  

Sei fixiert und sei , . Wegen der Linearität ist

D.h. der Differenzenquotient zu ist gleich dem Wert unter des Differenzenquotienten zu . Wegen der Voraussetzung und der Stetigkeit einer linearen Abbildung existiert der Limes links für , also existiert auch der Limes rechts, und das bedeutet, dass der Differentialquotient der zusammengesetzten Abbildung existiert und mit dem Wert unter des Differentialquotienten zu übereinstimmt.