Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialraum über Wege/Einführung/Textabschnitt

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Tangentialvektor.svg


Definition  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Es seien

und

zwei auf offenen Intervallen definierte differenzierbare Kurven mit . Dann heißen und tangential äquivalent in , wenn es eine offene Umgebung und eine Karte

mit derart gibt, dass

gilt.

Wir brauchen einige einfache Lemmata, um nachzuweisen, dass es sich hierbei um einen sinnvollen Begriff handelt.


Lemma  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Es seien

und

zwei auf offenen Intervallen definierte differenzierbare Kurven mit .

Dann sind und genau dann tangential äquivalent in , wenn für jede Karte

mit und die Gleichheit

gilt.

Beweis  

Für eine differenzierbare Kurve

mit und und eine Karte

(mit und ) ändert sich der Ausdruck

nicht, wenn man zu einem kleineren offenen Intervall und einer kleineren offenen Menge (mit der induzierten Karte) übergeht. Wir können also davon ausgehen, dass und auf dem gleichen Intervall definiert sind und ihre Bilder in liegen, und dass es für dieses zwei Karten

und

gibt. Dann folgt aus

nach der Kettenregel unter Verwendung der Differenzierbarkeit der Übergangsabbildung sofort



Lemma  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt.

Dann ist die tangentiale Äquivalenz von differenzierbaren Kurven durch eine Äquivalenzrelation.

Beweis  

Die Reflexiviät und die Symmetrie der Relation sind unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien drei differenzierbare Kurven

gegeben, wobei wir sofort annehmen dürfen, dass sie auf dem gleichen offenen Intervall definiert sind. Es seien offene Mengen, mit denen man die tangentiale Gleichheit von und bzw. von und nachweisen kann. Dann kann man nach Fakt mit die tangentiale Gleichheit von und nachweisen.


Aufgrund dieses Lemmas ist die folgende Definition sinnvoll.


Definition  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch . Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit

bezeichnet.



Lemma  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ein Punkt, offen und

eine Karte. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Abbildung

    ist eine wohldefinierte Bijektion.

  2. Die durch diese Abbildung auf definierte Vektorraumstruktur ist unabhängig von der gewählten Karte.

Beweis  

(1). Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist wegen Fakt klar. Die Injektivität folgt unmittelbar aus der Definition. Zur Surjektivität sei . Wir betrachten die affin-lineare Kurve

dessen Ableitung in gerade ist. Wir schränken diese Kurve auf ein Intervall derart ein, dass ist und betrachten

Für diese Kurve gilt

und


(2). Durch Übergang zu kleineren offenen Mengen können wir annehmen, dass zwei Karten

und

vorliegen. Die Übergangsabbildung

ist ein - Diffeomorphismus und für ihr totales Differential in gilt nach der Kettenregel die Beziehung

Das bedeutet, dass das Diagramm

wobei vertikal das totale Differential zu steht, kommutiert. Da das totale Differential eine lineare Abbildung ist, die in der gegebenen Situation bijektiv ist, macht es keinen Unterschied, ob man die Addition und die Skalarmultiplikation auf unter Bezug auf die obere oder die untere horizontale Abbildung definiert.



Definition  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an , geschrieben , versteht man die Menge der Tangentialvektoren an versehen mit der durch eine beliebige Karte gegebenen reellen Vektorraumstruktur.

Die Dimension des Tangentialraumes stimmt mit der Dimension der Mannigfaltigkeit überein. Jede Karte induziert einen Isomorphismus zwischen und dem , aber diese Isomorphismen hängen von der gewählten Karte ab. Insbesondere gibt es auf dem Tangentialraum keine Standardbasis.