Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialraum über Wege/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und  $P\in M$  ein Punkt. Es seien

${\gamma }_1:I_1⟶M$

und

${\gamma }_2:I_2⟶M$

zwei auf offenen Intervallen  $0\in I_1,I_2\subseteq ℝ$  definierte differenzierbare Kurven mit  ${\gamma }_1(0)=P={\gamma }_2(0)$.  Dann heißen ${\gamma }_1$ und ${\gamma }_2$ tangential äquivalent in $P$, wenn es eine offene Umgebung  $P\in U$  und eine Karte

$\alpha :U⟶V$

mit  $V\subseteq {ℝ}^n$  derart gibt, dass

$(\alpha \circ \left({\gamma }_1{|}_{{\gamma }_1^{-1}(U)}\right))(0)=(\alpha \circ \left({\gamma }_2{|}_{{\gamma }_2^{-1}(U)}\right))(0)$

gilt.

Wir brauchen einige einfache Lemmata, um nachzuweisen, dass es sich hierbei um einen sinnvollen Begriff handelt.

Lemma

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und  $P\in M$  ein Punkt. Es seien

${\gamma }_1:I_1⟶M$

und

${\gamma }_2:I_2⟶M$

zwei auf offenen Intervallen  $0\in I_1,I_2\subseteq ℝ$  definierte differenzierbare Kurven mit  ${\gamma }_1(0)=P={\gamma }_2(0)$. 

Dann sind ${\gamma }_1$ und ${\gamma }_2$ genau dann tangential äquivalent in $P$, wenn für jede Karte

$\alpha :U⟶V$

mit  $P\in U$  und  $V\subseteq {ℝ}^n$  die Gleichheit

$(\alpha \circ \left({\gamma }_1{|}_{{\gamma }_1^{-1}(U)}\right))(0)=(\alpha \circ \left({\gamma }_2{|}_{{\gamma }_2^{-1}(U)}\right))(0)$

gilt.

Beweis

Für eine differenzierbare Kurve

$\gamma :I⟶M$

mit  $0\in I$  und  $\gamma (0)=P$  und eine Karte

$\alpha :U⟶V$

(mit $P\in U$ und  $V\subseteq {ℝ}^n$ ) ändert sich der Ausdruck

$(\alpha \circ \left(\gamma {|}_{{\gamma }^{-1}(U)}\right))(0)$

nicht, wenn man zu einem kleineren offenen Intervall  $0\in I^{\prime }\subseteq I$  und einer kleineren offenen Menge  $P\in U^{\prime }\subseteq U$  (mit der induzierten Karte) übergeht. Wir können also davon ausgehen, dass ${\gamma }_1$ und ${\gamma }_2$ auf dem gleichen Intervall definiert sind und ihre Bilder in $U$ liegen, und dass es für dieses $U$ zwei Karten

${\alpha }_1:U⟶V_1$

und

${\alpha }_2:U⟶V_2$

gibt. Dann folgt aus

$({\alpha }_1\circ {\gamma }_1{)}^{\prime }(0)=({\alpha }_1\circ {\gamma }_2{)}^{\prime }(0)$

nach der Kettenregel unter Verwendung der Differenzierbarkeit der Übergangsabbildung ${\alpha }_2\circ {\alpha }_1^{-1}$ sofort

$\begin{array}{cc}({\alpha }_2\circ {\gamma }_1)(0)& =(({\alpha }_2\circ {\alpha }_1^{-1})\circ ({\alpha }_1\circ {\gamma }_1))(0)\\ & ={\left(D({\alpha }_2\circ {\alpha }_1^{-1})\right)}_{{\alpha }_1(P)}(({\alpha }_1\circ {\gamma }_1)(0))\\ & ={\left(D({\alpha }_2\circ {\alpha }_1^{-1})\right)}_{{\alpha }_1(P)}(({\alpha }_1\circ {\gamma }_2)(0))\\ & =({\alpha }_2\circ {\gamma }_2)(0).\end{array}$

$◻$

Lemma

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und  $P\in M$  ein Punkt.

Dann ist die tangentiale Äquivalenz von differenzierbaren Kurven durch $P$ eine Äquivalenzrelation.

Beweis

Die Reflexivität und die Symmetrie der Relation sind unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien drei differenzierbare Kurven

${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3:I⟶M$

gegeben, wobei wir sofort annehmen dürfen, dass sie auf dem gleichen offenen Intervall  $0\in I\subseteq ℝ$  definiert sind. Es seien  $P\in U_1,U_2$  offene Mengen, mit denen man die tangentiale Gleichheit von ${\gamma }_1$ und ${\gamma }_2$ bzw. von ${\gamma }_2$ und ${\gamma }_3$ nachweisen kann. Dann kann man nach Fakt mit  $U=U_1\cap U_2$  die tangentiale Gleichheit von ${\gamma }_1$ und ${\gamma }_3$ nachweisen.

$◻$

Aufgrund dieses Lemmas ist die folgende Definition sinnvoll.

Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und  $P\in M$  ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an $P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch $P$. Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit

$T_{P}M$

bezeichnet.

Lemma

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit,  $P\in M$  ein Punkt,  $P\in U\subseteq M$  offen und

$\alpha :U⟶V$

eine Karte. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Abbildung

   $T_{P}M⟶{ℝ}^n,[\gamma ]⟼(\alpha \circ \gamma {|}_{{\gamma }^{-1}(U)})(0),$

   ist eine wohldefinierte Bijektion.

2. Die durch diese Abbildung auf $T_{P}M$ definierte Vektorraumstruktur ist unabhängig von der gewählten Karte.

Beweis

(1). Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist wegen Fakt klar. Die Injektivität folgt unmittelbar aus der Definition. Zur Surjektivität sei  $v\in {ℝ}^n$.  Wir betrachten die affin-lineare Kurve

$\theta :ℝ⟶{ℝ}^n,t⟼\theta (t)=\alpha (P)+tv,$

dessen Ableitung in $0$ gerade $v$ ist. Wir schränken diese Kurve auf ein Intervall  $0\in I\subseteq ℝ$  derart ein, dass  $\theta (I)\subseteq V$  ist und betrachten

$\gamma ={\alpha }^{-1}\circ \theta :I⟶M.$

Für diese Kurve gilt

$\gamma (0)=({\alpha }^{-1}\circ \theta )(0)={\alpha }^{-1}(\theta (0))={\alpha }^{-1}(\alpha (P))=P$

und

$(\alpha \circ \gamma )(0)=(\alpha \circ ({\alpha }^{-1}\circ \theta ))(0)={\theta }^{\prime }(0)=v.$

(2). Durch Übergang zu kleineren offenen Mengen können wir annehmen, dass zwei Karten

${\alpha }_1:U⟶V_1$

und

${\alpha }_2:U⟶V_2$

vorliegen. Die Übergangsabbildung

${\alpha }_2\circ {\alpha }_1^{-1}:V_1⟶V_2$

ist ein $C^1$-Diffeomorphismus und für ihr totales Differential in ${\alpha }_1(P)$ gilt nach der Kettenregel die Beziehung

${(D({\alpha }_2\circ {\alpha }_1^{-1}))}_{{\alpha }_1(P)}(({\alpha }_1\circ \gamma {)}^{\prime }(0))=({\alpha }_2\circ \gamma {)}^{\prime }(0).$

Das bedeutet, dass das Diagramm

$\begin{array}{cccc}{T}_{P}M& \stackrel{}{⟶}& {ℝ}^n& \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & {ℝ}^n& ,\end{array}$

wobei vertikal das totale Differential zu ${\alpha }_2\circ {\alpha }_1^{-1}$ steht, kommutiert. Da das totale Differential eine lineare Abbildung ist, die in der gegebenen Situation bijektiv ist, macht es keinen Unterschied, ob man die Addition und die Skalarmultiplikation auf $T_{P}M$ unter Bezug auf die obere oder die untere horizontale Abbildung definiert.

$◻$

Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und  $P\in M$  ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an $P$, geschrieben $T_{P}M$, versteht man die Menge der Tangentialvektoren an $P$ versehen mit der durch eine beliebige Karte gegebenen reellen Vektorraumstruktur.

Die Dimension des Tangentialraumes stimmt mit der Dimension der Mannigfaltigkeit überein. Jede Karte induziert einen Isomorphismus zwischen $T_{P}M$ und dem ${ℝ}^n$, aber diese Isomorphismen hängen von der gewählten Karte ab. Insbesondere gibt es auf dem Tangentialraum keine Standardbasis.