Direkter Summand/Spektrumsabbildung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei  ${}R\subseteq S$  ein Unterring eines kommutativen Ringes ${}S$. Man sagt, dass ${}R$ ein direkter Summand von ${}S$ ist, wenn es einen ${}R$-Modul ${}M$ gibt mit  ${}S\cong R\oplus M$  (es liegt also ein ${}R$-Modulisomorphismus vor).

Diese Eigenschaft ist äquivalent dazu, dass es einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$\psi \colon S\longrightarrow R$

mit  ${}\psi \circ \iota =\operatorname {Id} _{R}$  gibt, wobei ${}\iota \colon R\rightarrow S$ die Inklusion bezeichnet. Eine stärkere Eigenschaft ist die Existenz eines Ringhomomorphismus

$\psi \colon S\longrightarrow R$

mit  ${}\psi \circ \iota =\operatorname {Id} _{R}$. 

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine von ${}0$ verschiedene ${}K$-Algebra. Dann ist ${}K$ ein direkter Summand von ${}A$. Dies beruht darauf, dass man die ${}1$ zu einer ${}K$-Basis von ${}A$ ergänzen kann. Mit dem von den anderen Basiselementen erzeugten ${}K$-Untervektorraum  ${}V\subset A$  ist dann  ${}A\cong K\cdot 1\oplus V$.  Im Allgemeinen muss es aber keinen ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}A\rightarrow K$ geben. Bei einer (nichttrivialen) Körpererweiterung  ${}K\subset L$  gibt es keinen Ringhomomorphismus von ${}L$ nach ${}K$.

Lemma

Es seien ${}R,R',S$ kommutative Ringe, es sei ${}R\rightarrow R'$ ein Ringhomomorphismus und ${}R\subseteq S$ ein direkter Summand.

Dann ist auch

$R'\longrightarrow R'\otimes _{R}S$

ein direkter Summand.

Beweis

Nach Vorraussetzung ist  ${}S\cong R\oplus M$  mit einem ${}R$-Modul ${}M$. Nach Fakt  (3) ist dann

${}R'\otimes _{R}S=R'\otimes _{R}{\left(R\oplus M\right)}=R'\otimes _{R}R\oplus R'\otimes _{R}M=R'\oplus R'\otimes _{R}M\,.$

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Lemma

Es sei ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}R$ ein kommutativer ${}D$-graduierter Ring.

Dann ist der Unterring  ${}R_{0}\subseteq R$  ein direkter Summand.

Beweis

Die Stufen ${}R_{d}$ sind ${}R_{0}$-Moduln, daher ist

${}R=R_{0}\oplus {\left(\bigoplus _{d\in D,\,d\neq 0}R_{d}\right)}\,$

eine direkte Summenzerlegung.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper,  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  der Polynomring und ${}R^{(s)}$ der Veronese-Ring zu  ${}s\in \mathbb {N} _{+}$.  Nach Fakt ist  ${}R^{(s)}\subseteq R$  ein direkter Summand. Bei  ${}s\geq 2$  (und ${}n\geq 1$) gibt es keinen Ringhomomorphismus

$\psi \colon R\longrightarrow R^{(s)}$

mit  ${}\psi \circ \iota =\operatorname {Id} _{R^{(s)}}$.  Dies liegt daran, dass

${}\psi (X_{1})=a_{0}+a_{s}+a_{2s}+\cdots +a_{rs}=X_{1}\,$

mit  ${}a_{is}\in R_{is}$  keine Lösung besitzt.

Lemma

Es seien ${}R,S$ kommutative Ringe und  ${}R\subseteq S$  ein direkter Summand.

Dann ist die Spektrumsabbildung

$\operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

surjektiv.

Beweis

Es sei

${}S\cong R\oplus V\,$

mit einem ${}R$-Modul ${}V$. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$. Nach Fakt ist auch

$\kappa ({\mathfrak {p}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}S=\kappa ({\mathfrak {p}})\oplus {\left(\kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}V\right)}$

ein direkter Summand. Daher ist ${}S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})\neq 0$ und somit ist nach Fakt  (7) und nach Fakt die Faser über ${}{\mathfrak {p}}$ nicht leer.

$\Box$