Integral/Parameter/Differenzierbarkeit/Einführung/Textabschnitt

Wir beginnen mit einem Beispiel.

Beispiel

Wir betrachten das Integral

$\int _{1}^{2}t^{x}dt,$

wobei ${}x>-1$ sei. Eine Stammfunktion zu ${}t\mapsto t^{x}$ ist durch ${}{\frac {1}{x+1}}t^{x+1}$ gegeben. Daher ist

${}\int _{1}^{2}t^{x}dt={\left({\frac {1}{x+1}}t^{x+1}\right)}{|}_{1}^{2}={\frac {1}{x+1}}{\left(2^{x+1}-1\right)}=g(x)\,.$

Diese Funktion ${}g(x)$ drückt den Wert des bestimmten Integrals zum Parameter ${}x$ aus. Ein Blick auf die Bauart zeigt, dass ${}g$ stetig und auch differenzierbar ist, und zwar ist nach der Produktregel

${}g'(x)={\frac {-1}{(x+1)^{2}}}{\left(2^{x+1}-1\right)}+{\frac {1}{x+1}}{\left({\left(\ln 2\right)}2^{x+1}\right)}\,.$

Andererseits kann man auch die Funktion ${}t^{x}$ nach ${}x$ ableiten und erhält

${}{\frac {\partial }{\partial x}}t^{x}={\left(\ln t\right)}t^{x}\,.$

Eine Stammfunktion nach ${}t$ zu dieser Funktion findet man mittels partieller Integration, nämlich

${}\int {\left(\ln t\right)}t^{x}={\left(\ln t\right)}{\frac {t^{x+1}}{x+1}}-\int {\frac {1}{t}}\cdot {\frac {t^{x+1}}{x+1}}\,,$

und somit ist

${\frac {\ln t}{x+1}}\cdot t^{x+1}-{\frac {1}{(x+1)^{2}}}t^{x+1}$

eine Stammfunktion. Daher ist

${}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}t^{x}dt&={\left({\frac {\ln t}{x+1}}\cdot t^{x+1}-{\frac {1}{(x+1)^{2}}}t^{x+1}\right)}|_{1}^{2}\\&={\frac {\ln 2}{x+1}}\cdot 2^{x+1}-{\frac {1}{(x+1)^{2}}}2^{x+1}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}.\end{aligned}}$

Dies stimmt mit der Ableitung von ${}g$ überein, d.h. es ist

${}{\left(x\mapsto \int _{1}^{2}t^{x}dt\right)}'=\int _{1}^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}t^{x}dt\,.$

Dahinter verbirgt sich ein allgemeiner Zusammenhang, der in Fakt beschrieben wird.

Satz

Es sei ${}(X,d)$ ein metrischer Raum und ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Es sei

$f\colon X\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,t)\longmapsto f(x,t),$

eine stetige Funktion.

Dann ist auch die Funktion

$X\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{b}f(x,t)\,dt,$

stetig.

Beweis

Aufgrund von Fakt müssen wir für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}X$ mit dem Grenzwert ${}x$ zeigen, dass die Folge der Integrale

$\int _{a}^{b}f(x_{n},t)\,dt$

gegen

$\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt$

konvergiert. Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass die Funktionenfolge ${}f(x_{n},-)$ gleichmäßig gegen ${}f(x,-)$ konvergiert.  Nehmen wir also an, dass diese Folge nicht gleichmäßig konvergiert. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ mit der Eigenschaft, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ ein ${}m\geq n$ und ein ${}t_{m}\in [a,b]$ mit ${}\vert {f(x_{m},t_{m})-f(x,t_{m})}\vert \geq \epsilon$ gibt. So können wir eine Teilfolge ${}(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ mit zugehörigen Punkten ${}t_{n_{k}}$ konstruieren, die diese Abstandbedingung erfüllen. Wegen Bolzano Weierstraß gibt es zu dieser Folge in ${}[a,b]$ eine konvergente Teilfolge, und durch Umbenennen können wir annehmen, dass die Folge ${}(t_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ konvergiert, sagen wir gegen ${}t\in [a,b]$. Wegen der Stetigkeit von ${}f$ und den Konvergenzeigenschaften gibt es ein ${}k_{0}$ derart, dass für alle ${}k\geq k_{0}$ die Abschätzungen ${}\vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert \leq {\frac {1}{3}}\epsilon$ und ${}\vert {f(x,t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert \leq {\frac {1}{3}}\epsilon$ gelten. Damit ist

${}{\begin{aligned}\vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t_{n_{k}})}\vert &\leq \vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert +\vert {f(x,t)-f(x,t_{n_{k}})}\vert \\&\leq {\frac {2\epsilon }{3}}\\&<\epsilon ,\end{aligned}}$

${}$ ein Widerspruch.

$\Box$

Unter stärkeren Voraussetzungen hängen Integrale sogar differenzierbar von Parametern ab.

Satz

Es seien ${}I=[a,b]$ und ${}J$ reelle Intervalle,

$f\colon I\times J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$

eine stetige Abbildung, die in Richtung der Variablen ${}x$ stetig partiell differenzierbar sei.

Dann ist die Abbildung

$J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{b}f(t,x)dt,$

(nach ${}x$) differenzierbar und es gilt

${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\left(x\mapsto \int _{a}^{b}f(t,x)dt\right)}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(t,x)dt\,.$

Beweis

Aufgrund der Differenzierbarkeit von ${}f(t,x)$ nach ${}x$ gibt es zu jedem ${}(s,p)\in I\times J$ nach Fakt eine in ${}x$ stetige Funktion ${}r_{s}(x)$ mit ${}r_{s}(p)=0$ und mit

${}f(s,x)=f(s,p)+{\left({\frac {\partial }{\partial x}}f(s,p)\right)}(x-p)+r_{s}(x)(x-p)\,.$

Wir setzen

${}r(s,x)=r_{s}(x)\,.$

Wir zeigen zuerst, dass diese Funktion in den zwei Variablen ${}s$ und ${}x$ in jedem Punkt stetig ist. Bei ${}x\neq p$ kann man

${}r(s,x)={\frac {f(s,x)-f(s,p)}{x-p}}-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s,p)\,$

auflösen und erhält so die Stetigkeit, da ja die partielle Ableitung nach Voraussetzung stetig ist. Bei ${}x=p$ verwenden wir das Folgenkriterium für die Stetigkeit. Es sei also ${}\left(s_{n},\,x_{n}\right)$ eine Folge, die gegen

${}(s,x)=(s,p)\,$

konvergiert. Wir können dabei annehmen, dass ${}x_{n}\neq p$ für alle ${}n$ ist, da ja ${}r(s_{n},p)=0$ ist. Es ist

${}{\begin{aligned}\vert {r(s_{n},x_{n})-r(s,p)}\vert &=\vert {r(s_{n},x_{n})}\vert \\&=\vert {{\frac {f(s_{n},x_{n})-f(s_{n},p)}{x_{n}-p}}-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},p)}\vert .\end{aligned}}$

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu jedem ${}n$ ein ${}c_{n}\in [x_{n},p]$ mit

${}{\frac {f(s_{n},x_{n})-f(s_{n},p)}{x_{n}-p}}={\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},c_{n})\,$

und somit ist der obige Ausdruck gleich

$\vert {{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},c_{n})-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},p)}\vert .$

Wegen der Stetigkeit der partiellen Ableitung und wegen ${}c_{n}\rightarrow p$ wird dies beliebig klein.

In der eingangs formulierten Identität sind also alle Bestandteile stetig. Daher kann man beidseitig über ${}[a,b]$ integrieren und erhält ($x-p$ ist in der Integration konstant)

$\int _{a}^{b}f(t,x)dt=\int _{a}^{b}f(t,p)dt+(x-p){\left(\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(t,p)dt\right)}+(x-p)\int _{a}^{b}r(t,x)dt\,.$

Der Fehlerausdruck

${}R(x)=\int _{a}^{b}r(t,x)dt\,$

ist stetig in ${}x$, da ${}r(t,x)$ stetig ist und wegen der Stetigkeit des Integrals. Ferner ist ${}R(p)=\int _{a}^{b}r(t,p)=0$, so dass die Funktion ${}x\mapsto \int _{a}^{b}f(t,x)dt$ linear approximierbar und damit differenzierbar ist.

$\Box$

Satz

Es sei ${}I=[a,b]$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

$f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Abbildung, die in Richtung einer jeden Variablen ${}x_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, stetig partiell differenzierbar sei.

Dann ist die Abbildung

$U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{b}f(t,x)dt,$

partiell differenzierbar und es gilt

${}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(x\mapsto \int _{a}^{b}f(t,x)dt\right)}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(t,x)dt\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$