Kähler-Differentiale/Lokaler Ring/Kotangentialraum/Textabschnitt

Zu einer ${}K$-Algebra

${}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\,$

und einem Punkt ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})$ mit zugehörigem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}\subseteq A$ und Lokalisierung

${}R=A_{{\mathfrak {m}}_{P}}={\mathcal {O}}_{V,P}\,$

ist

${}\Omega _{R{|}K}=\Omega _{A{|}K}\otimes _{A}R\,,$

und die Tensorierung

${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}K=\Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\,$

zur Restekörperauswertung

$A\longrightarrow A_{\mathfrak {m}}\longrightarrow A_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}A_{\mathfrak {m}}=K$

spielt eine besondere Rolle. Es ergibt sich ein direkter Zusammenhang zum Dualraum des extrinsischen Tangentialraumes von ${}V$ an ${}P$. Das bedeutet, dass ${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}K$ in natürlicher Weise der Kotangentialraum im Punkt ${}P$ ist.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper,

${}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\,$

eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra und ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})$ ein Punkt des zugehörigen Nullstellengebildes mit zugehörigem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}\subseteq A$ und Lokalisierung

${}R=A_{\mathfrak {m}}\,.$

Dann ist der Tangentialraum zu ${}V$ in ${}P$ in kanonischer Weise der duale Vektorraum zu ${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}K$.

Beweis

Nach Bemerkung gibt es eine exakte Sequenz

$A^{m}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}K}\longrightarrow 0,$

wobei ${}M$ die transponierte Jacobi-Matrix zu den ${}f_{i}$ ist. Wir tensorieren mit dem Restekörper ${}K$ und erhalten eine exakte Sequenz

$K^{m}{\stackrel {M(P)}{\longrightarrow }}K^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\longrightarrow 0$

von endlichdimensionalen ${}K$-Vektorräumen. Die duale Sequenz dazu ist

$0\longrightarrow {\left(\Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\right)}^{*}\longrightarrow K^{n}{\stackrel {\operatorname {Jac} (P)}{\longrightarrow }}K^{m}$

und ebenfalls exakt. Nach Definition ist aber der Kern der Jacobi-Matrix im Punkt ${}P$ der Tangentialraum an ${}V$ in ${}P$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine lokale kommutative ${}K$-Algebra und es sei die Gesamtabbildung

$K\longrightarrow R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}$

ein Isomorphismus.

Dann ist die Abbildung

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow \Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto df\otimes 1,$

ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Modulisomorphismus.

Beweis

Nach Fakt liegt eine exakte Sequenz

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow \Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow \Omega _{R/{\mathfrak {m}}{|}K}\longrightarrow 0$

von ${}R/{\mathfrak {m}}$-Modulhomomorphismen vor. Nach Voraussetzung ist ${}R/{\mathfrak {m}}=K$ und daher ${}\Omega _{R/{\mathfrak {m}}{|}K}=0$. Somit ist die angegebene Abbildung surjektiv. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die ${}R/{\mathfrak {m}}$-duale Abbildung, also die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{R/{\mathfrak {m}}}{\left(\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}},R/{\mathfrak {m}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R/{\mathfrak {m}}}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},R/{\mathfrak {m}}\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi \circ d,$

und müssen zeigen, dass diese surjektiv ist (es geht um Vektorräume).

Der linke Homomorphismenmodul ist nach Fakt und Fakt isomorph zu

${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(\Omega _{R{|}K},R/{\mathfrak {m}}\right)}\cong \operatorname {Der} _{K}{\left(R,R/{\mathfrak {m}}\right)}\,.$

Die Gesamtabbildung ordnet einer ${}K$-Derivation ${}\delta \colon R\rightarrow R/{\mathfrak {m}}$ die Abbildung

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto \delta (f),$

zu. Es sei nun

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto \epsilon (f),$

ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Modulhomomorphismus. Wir müssen zeigen, dass dies von einer Derivation herkommt. Dazu betrachten wir die Abbildung

$\delta \colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}},\,f\longmapsto \epsilon (f-{\overline {f}}),$

wobei ${}{\overline {f}}$ den Wert von ${}f$ im Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}$ bezeichnet, den man über die Identifizierung ${}K=R/{\mathfrak {m}}$ wieder in ${}R$ auffasst. Somit gehört ${}f-{\overline {f}}\in {\mathfrak {m}}$ und die Abbildung ist wohldefiniert. Eine direkte Verifizierung ähnlich zum Beweis zu Fakt zeigt, dass es sich um eine Derivation handelt. Diese bildet auf ${}\epsilon$ ab.

$\Box$

Bemerkung  

In der Situation von Fakt kann man direkt eine Beziehung zwischen dem (extrinsischen) Tangentialraum, der als Kern der Jacobi-Matrix gegeben ist, und dem Dualraum zu ${}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}$ stiften. Es sei

${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\in T_{P}V=\operatorname {kern} \left(\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}\right)\,.$

Dies definiert eine Abbildung

${\mathfrak {m}}_{P}\longrightarrow K,\,g\longmapsto (dg)_{P}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=v_{1}\partial _{1}g(P)+\cdots +v_{n}\partial _{n}g(P),$

dabei wird, in analytischer Sprache, einer Funktion ${}g$ die Auswertung in ${}P$ ihrer Richtungsableitung in Richtung ${}v$ zugeordnet. Die Kernbedingung stellt dabei sicher, dass Funktionen aus dem Ideal ${}(f_{1},\ldots ,f_{m})$ auf ${}0$ abgebildet werden und die Abbildung auf dem maximalen Ideal des Restklassenringes wohldefiniert ist. Nach der Produktregel wird dabei ${}{\mathfrak {m}}_{P}^{2}$ auf ${}0$ abgebildet und es ergibt sich eine ${}K$-lineare Abbildung

${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}\longrightarrow K.$