Kommutativer Ring/Komplex/Homomorphismus/Homotopie/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring. Ein Kettenkomplex (oder einfach Komplex) ist eine Folge , , von -Moduln zusammen mit einer Folge von Modulhomomorphismenzusatz1

mit der Eigenschaft

für alle .

Dies bedeutet, dass an jeder Stelle

gilt.


Definition  

Ein Kettenkomplex über einem kommutativen Ring heißt exakt an der Stelle , wenn

gilt. Er heißt exakt, wenn er an jeder Stelle exakt ist.

Dies bedeutet wiederum, dass an jeder Stelle

gilt.


Definition  

Zu einem Kettenkomplex nennt man

die -te Homologie des Komplexes.


Definition  

Es seien und Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Unter einem Homomorphismus

versteht man eine Familie

von Gruppenhomomorphismen, die mit den Komplexabbildungen kommutieren (es gilt also für alle ).



Lemma  

Es seien und Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen.

Dann induziert ein Homomorphismus

von Kettenkomplexen einen Homomorphismus in der Homologie,

Es gibt also für jedes einen Gruppenhomomorphismus

Beweis  

Wir betrachten das kommutative Diagramm

Dabei wird der Kern von unter in den Kern von abgebildet. Unter dem Gruppenhomomorphismus

wird das Bild von in das Bild von abgebildet. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus



Definition  

Es seien und Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Man nennt zwei Homomorphismen von Kettenkomplexen

homotop, wenn es Gruppenhomomorphismen

mit

gibt.

Es liegt also ein kommutatives Diagramm

vor. Die nennt man Homotopien.



Lemma  

Es seien und Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen und es seien

homotope Homomorphismen von Kettenkomplexen.

Dann gilt für die zugehörigen Homologiehomomorphismen

Beweis  

Es seien die Homomorphismen, die die Homotopie zwischen und bewirken. Sei . Dann ist

Somit ist die Klasse von in gleich und .




Lemma  

Es seien und Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Es seien

homotope Homomorphismen von Kettenkomplexen. Es sei ein additiver kovarianter Funktor von der Kategorie der kommutativen Gruppen in die Kategorie der kommutativen Gruppen.

Dann sind auch die induzierten Homomorphismen

zueinander homotop.

Beweis  

Es seien die Homotopien zwischen und , die es nach Voraussetzung gibt. Es gilt also

Wegen der Additivität des Funktors gilt auch


Es sei eine total geordnete endliche Indexmenge. Zu einer Teilmenge und einem Element definieren wir durch bzw. , je nachdem, ob in der induzierten Ordnung auf ein gerades oder ein ungerades Element ist. Die Elemente von haben also abwechselnd das Vorzeichen etc, beginnend mit . Wir betrachten die freie Gruppe zur Basis , wobei die -elementigen Teilmengen von durchläuft. Es ist also

wobei wir mit die Menge der -elementigen Teilmengen von bezeichnen.


Definition  

Es sei eine total geordnete endliche Indexmenge. Auf zu definieren wir Gruppenhomomorphismen durch

und nennen den absteigenden Binomialkomplex.


Definition  

Es sei eine total geordnete endliche Indexmenge. Auf zu definieren wir Gruppenhomomorphismen durch

und nennen den aufsteigenden Binomialkomplex.

Für einen Standardvektor bedeutet dies

In diesem Fall entspricht dem Tupel , das genau an der Stelle eine und sonst überall eine stehen hat. Sagen wir besitzt Elemente. Für eine -elementige Menge ist somit , falls , und im anderen Fall ist

und nur bei ist das .



Lemma  

Der aufsteigende Binomialkomplex zu einer nichtleeren Indexmenge

ist exakt.

Beweis  

Es sei das kleinste Element von . Wir definieren einen Komplex

durch

Wir behaupten

Sei dazu gegeben. Bei ist

und

und bei ist

und

Da das Anfangsglied ist, unterscheiden sich und um das Vorzeichen.

Somit liegt eine Homotopie zwischen der Identität und der Nullabbildung des Komplexes auf sich selbst vor. Nach Fakt gilt daher auf der Ebene der Homologieabbildungen

und daher sind die Homologien trivial.


Bei leerem ist der Komplex gleich und daher nicht exakt.