Kreisteilungsring/Verzweigung/Zerlegung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der ${}n$-te Kreisteilungsring. Dann sind für eine ungerade Primzahl ${}q$ folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}q$ ist ein Teiler von ${}n$.
2. Das Primideal ${}(q)$ verzweigt in ${}R_{n}$.
3. Das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{n}$ ist über ${}\mathbb {Z} /(q)$ nicht separabel.
4. Das Polynom ${}X^{n}-1$ ist über ${}\mathbb {Z} /(q)$ nicht separabel.
5. Der Ring ${}\mathbb {Z} /(q)[X]/(X^{n}-1)$ ist nicht reduziert.

Beweis

Von (1) nach (2). Wenn ${}q$ ein Teiler von ${}n$ ist, so ist eine ${}q$-te Einheitswurzel auch eine ${}n$-te Einheitswurzel. Die ${}q$-ten Einheitswurzeln lassen sich also als eine Potenz einer primitiven ${}n$-ten Einheitswurzel erhalten und deshalb gilt für die Kreisteilungskörper ${}K_{q}\subseteq K_{n}$. Damit ist auch ${}R_{q}\subseteq R_{n}$. Nach Fakt in Verbindung mit Fakt und Fakt verzweigt ${}(q)$ in ${}R_{q}$ und damit nach Aufgabe auch in ${}R_{n}$.

Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar aufgrund von Fakt, Aufgabe und Fakt. Von (3) nach (4) ist klar wegen Aufgabe. Die Äquivalenz von (4) und (5) ist klar.

Von (4) nach (1). Wenn ${}q$ kein Teiler von ${}n$ ist, so ist ${}n$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(q)$ und somit sind ${}X^{n}-1$ und ${}(X^{n}-1)'=nX^{n-1}$ teilerfremd über ${}\mathbb {Z} /(q)$, was nach Aufgabe die Separabilität bedeutet.

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Satz

Es sei ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der ${}n$-te Kreisteilungsring und es sei ${}q$ eine Primzahl, die kein Teiler von ${}n$ sei. Es sei ${}f$ die multiplikative Ordnung von ${}q$ in ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.

Dann liegen oberhalb von ${}(q)$ in ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{n}\right)}$ genau ${}{\frac {\varphi (n)}{f}}$ Primideale, deren Restekörper gleich ${}{\mathbb {F} }_{q^{f}}$ sind.

Beweis

Nach Voraussetzung ist ${}q$ kein Teiler von ${}n$ und damit eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(n)$. Es gibt deshalb eine wohldefinierte Ordnung ${}f$, also die kleinste positive Zahl mit ${}q^{f}=1\mod n$. Dabei ist ${}f$ ein Teiler von ${}{\varphi (n)}$, der Ordnung der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$. Nach Fakt ist ${}{\mathbb {F} }_{q^{f}}$ der kleinste Erweiterungskörper von ${}\mathbb {Z} /(q)$, der ${}n$ verschiedene Einheitswurzeln enthält.

Wegen Fakt und Fakt ist lediglich zu zeigen, dass ${}{\mathbb {F} }_{q^{f}}$ der Restekörper der Primideale oberhalb von ${}(q)$ ist. Betrachten wir also ${}\mathbb {Z} /(q)[X]/(\Phi _{n})$. Da ${}{\mathbb {F} }_{q^{f}}$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel enthält, gibt es eine surjektive Abbildung

$\mathbb {Z} /(q)[X]/{\left(X^{n}-1\right)}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q^{f}}.$

Diese faktorisiert nach Fakt durch

$\mathbb {Z} /(q)[X]/(\Phi _{m})\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q^{f}},$

wobei ${}m$ ein Teiler von ${}n$ ist und dann gibt es auch eine Surjektion

$\mathbb {Z} /(q)[X]/{\left(X^{m}-1\right)}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q^{f}}.$

Wenn ${}m$ ein echter Teiler von ${}n$ wäre, so würde sich ein Widerspruch ergeben, da dann das Bild von ${}X$ eine Ordnung ${}<n$ hätte.

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Die beiden Extremfälle des Zerlegungsverhaltens kann man folgendermaßen herausarbeiten.

Korollar

Es sei ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der ${}n$-te Kreisteilungsring. Dann sind für eine ungerade Primzahl ${}q$ folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}n$ ist ein Teiler von ${}q-1$.
2. ${}q=1\mod n$.
3. In ${}\mathbb {Z} /(q)$ gibt es ${}n$ ${}n$-te Einheitswurzeln.
4. Das Polynom ${}X^{n}-1$ zerfällt über ${}\mathbb {Z} /(q)$ in verschiedene Linearformen.
5. Das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{n}$ zerfällt über ${}\mathbb {Z} /(q)$ in verschiedene Linearformen.
6. Über ${}(q)$ liegen ${}{\varphi (n)}$ Primideale von ${}R_{n}$.
7. Das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{n}$ hat eine Nullstelle in ${}\mathbb {Z} /(q)$ und ${}q$ ist nicht verzweigt.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) und die von (3) und (4) ist klar. Die Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(q)$ ist nach Fakt zyklisch mit ${}q-1$ Elementen, das ${}n$-te Potenzieren wird unter dieser Identifizierung zum ${}n$-ten Multiplizieren,

$\mathbb {Z} /(q-1)\longrightarrow \mathbb {Z} /(q-1),\,y\longmapsto ny.$

Die ${}n$-ten Einheitswurzeln entsprechen dabei dem Kern dieser Abbildung. Wenn ${}n$ ein Teiler von ${}q-1$ ist, so sei ${}q-1=na$. In diesem Fall sind ${}0,a,2a,\ldots ,(n-1)a$ die verschiedenen Elemente des Kerns, was die Implikation von (1) nach (3) beweist. Umgekehrt besitzt der Kern wie jede Untergruppe von ${}\mathbb {Z} /(q-1)$ einen Erzeuger ${}a$, der ein Teiler von ${}q-1$ ist. Wenn der Kern aus ${}n$ Elementen besteht, so ist ${}an=q-1$, was die andere Implikation beweist.

Von (4) nach (5) ist klar, da das Kreisteilungspolynom ein Teiler von ${}X^{n}-1$ ist. Die Äquivalenz von (5) und (6) ist auch klar, da ${}\mathbb {Z} /(q)[X]/{\left(\Phi _{n}\right)}$ der Faserring über ${}(q)$ ist und da das Kreisteilungspolynom den Grad ${}{\varphi (n)}$ besitzt. Die Eigenschaft (5) impliziert unmittelbar den ersten Teil von (7). Wäre ${}q$ verzweigt in ${}R_{n}$, so wäre ${}q$ nach Fakt ein Teiler von ${}n$, sagen wir ${}n=qc$, und dann wäre

${}X^{n}-1=(X^{c}-1)^{q}\,$

über ${}\mathbb {Z} /(q)$. Doch dann hätte das Kreisteilungspolynom mehrfache Nullstellen.

Von (7) nach (3). Zunächst ist nach Fakt ${}q$ kein Teiler von ${}n$, d.h. ${}q$ ist eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(n)$. Es sei ${}f$ die (multiplikative) Ordnung von ${}q$ in ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$. Dann gibt es in ${}{\mathbb {F} }_{q^{f}}$ ${}n$ verschiedene ${}n$-te Einheitswurzeln. Nach Voraussetzung gibt es eine Nullstelle ${}\zeta$ des Kreisteilungspolynoms ${}\Phi _{n}$ über ${}\mathbb {Z} /(p)$. Dessen Potenzen durchlaufen in ${}{\mathbb {F} }_{q^{f}}$ die ${}n$-ten Einheitswurzeln. Da die Potenzen aber zu ${}\mathbb {Z} /(q)$ gehören, ist ${}f=1$.

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Korollar

Es sei ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der ${}n$-te Kreisteilungsring und es sei ${}q$ eine Primzahl, die kein Teiler von ${}n$ sei. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Das Element ${}q$ erzeugt die Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(n)$.
2. Über ${}(q)$ liegt ein Primideal in ${}R_{n}$, d.h. ${}(q)$ ist unzerlegt im Kreisteilungsring.
3. Das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{n}$ ist irreduzibel über ${}\mathbb {Z} /(q)$.

Beweis

Die Eigenschaft (1) bedeutet, dass die Ordnung von ${}q$ in der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ gleich ${}{\varphi (n)}$ ist. Somit folgt die Äquivalenz von (1) und (2) aus Fakt. Die Äquivalenz zu (3) ist angesichts der Voraussetzung über die Unverzweigtheit und der expliziten Beschreibung der Kreisteilungsringe klar.

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