Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 22

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Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Körper der positiven Charakteristik . Bestimme die Menge der Polynome mit formaler Ableitung .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper der Charakteristik . Man charakterisiere die Polynome mit der Eigenschaft, dass

  1. die erste partielle Ableitung,
  2. die zweite partielle Ableitung,
  3. beide partiellen Ableitungen

sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Körper und ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger ebener Kurve . Zeige, dass nur endlich viele singuläre Punkte besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome mit für einen bestimmten Punkt . Es sei . Zeige, dass jede Tangente von in und jede Tangente von in auch eine Tangente von in ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise Lemma 22.11.


Cercle tangente rayon.svg


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Einheitskreis über einem Körper der Charakteristik glatt ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der Tangente.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper.

a) Zeige, dass der Graph eines Polynoms eine glatte algebraische Kurve ist.

b) Seien Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der rationalen Funktion ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Betrachte die Kurve

  1. Bestimme die Tangenten im Nullpunkt.
  2. Zeige, dass ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von in über die Ableitung.
  3. Führe eine Variablentransformation durch derart, dass in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in aus der transformierten Kurvengleichung.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die algebraische Kurve

die Singularitäten sowie deren Multiplizitäten und Tangenten.

(vergleiche Beispiel 8.5)

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper. Eine Potenzreihe in einer Variablen über ist ein formaler Ausdruck der Form

Es kann hier also unendlich viele von verschiedene Koeffizienten geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass ein noetherscher abstrakter Bewertungsring schon diskret ist.