Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 3/kontrolle

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und . Zeige, dass ein Punkt nicht die Nullstellenmenge zu einem einzigen Polynom ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein endlicher Körper und eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man beschreibe eine Abbildung

die bezüglich der Zariski-Topologie stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Charakterisiere in die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring reduziert ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Sei ein Radikal in . Zeige, dass das Urbild ein Radikal in ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Seien und zwei Ideale in derart, dass ihre Radikale gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre Nullstellenmengen übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge der reellen trigonalisierbaren -Matrizen im keine affin-algebraische Menge ist.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei

eine Abbildung, die durch Polynome in Variablen gegeben sei. Zeige, dass stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.


Aufgabe (5 Punkte)Aufgabe 3.12 ändern

Es sei ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere Zariski-offene Menge dicht ist.

Tipp: Induktion über .

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene den Zariski-Abschluss.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. .


Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper.

  1. Man zeige, dass für bzw. die Standardtopologie (die metrische oder euklidische Topologie) feiner ist als die Zariski-Topologie.
  2. Man zeige, dass für die Zariski-Topologie mit der kofiniten Topologie übereinstimmt. Gilt dies auch für mit ?
  3. Wann ist die Zariski-Topologie , wann ist sie hausdorffsch?
  4. Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn ein endlicher Körper ist?




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