Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 16

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Funktionenfolgen
Eine (vertikal gestauchte) Darstellung der ersten acht polynomialen Approximationen der reellen Exponentialfunktion

Wir haben das letzte Mal gesehen, dass die Exponentialreihe für jedes konvergiert. Für jedes stellt also die Polynomfunktion

eine „approximierende Funktion“ für die Exponentialfunktion dar. Dabei ist allerdings die Güte der Approximation abhängig von (bei fixiertem ). In dieser Vorlesung werden wir verschiedene Konzepte vorstellen, wie man eine Funktion als Grenzfunktion einer Funktionenfolge auffassen kann. Eine unmittelbare Anwendung wird sein, dass die Exponentialfunktion stetig ist.


Definition  

Es sei eine Menge und

() eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

(in ) konvergiert.

Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch

eine sogenannte Grenzfunktion definiert.

Die Funktionenfolge konvergiert punktweise, die Grenzfunktion ist die Exponentialfunktion. Selbst wenn (bei ) sämtliche Funktionen stetig sind, muss diese Grenzfunktion nicht stetig sein.


Beispiel  

Es sei und

Für jedes , , konvergiert die Folge gegen und für liegt die konstante Folge zum Wert vor. Die Grenzfunktion ist also

Diese Funktion ist nicht stetig, obwohl alle stetig sind.


Man braucht einen stärkeren Konvergenzbegriff, um die Stetigkeit der Grenzfunktion zu sichern.


Definition  

Es sei eine Menge und

() eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

derart gibt, dass es zu jedem ein mit

gibt.

Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt insbesondere punktweise Konvergenz vor und die Funktion aus der vorstehenden Definition ist die Grenzfunktion.



Lemma  

Es sei eine Teilmenge und es sei

eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert.

Dann ist stetig.

Beweis  

Sei und vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein mit für alle und alle . Wegen der Stetigkeit von in gibt es ein mit für alle mit . Für diese gilt somit



Das Konvergenzkriterium von Weierstraß

Definition  

Es sei eine Menge und

eine Funktion. Dann nennt man

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von . Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .

Die folgende Aussage heißt das Konvergenzkriterium von Weierstraß. Es geht darin um Funktionenfolgen , die als Partialsummen von Funktionen gegeben sind, wie dies auch bei Potenzreihen der Fall ist.



Satz  

Es sei eine Menge und sei

eine Funktionenfolge mit

Dann konvergiert die Reihe (also die Funktionenfolge ) gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion

Beweis  

Sei . Wegen ist aufgrund des Majorantenkriteriums die Reihe absolut konvergent, und das bedeutet, dass die Funktionenreihe punktweise absolut konvergiert.
Wir setzen und

Wir wollen zeigen, dass die Funktionenfolge gleichmäßig gegen konvergiert. Dazu sei vorgegeben. Aufgrund des Cauchy-Kriteriums für Reihen gibt es ein mit

für alle . Damit haben wir für und jedes insgesamt die Abschätzung





Konvergenz von Potenzreihen

Es seien , komplexe Zahlen und . Wir betrachten die Funktionenfolge mit

Für jedes ist dies eine Potenzreihe in . Im Folgenden werden wir auch die Funktionenreihe mit variablem als Potenzreihe bezeichnen. Dabei heißt der Entwicklungspunkt der Potenzreihe. Im Allgemeinen konvergiert diese Funktionenreihe weder punktweise auf ganz noch gleichmäßig. Wir werden aber sehen, dass häufig auf geeigneten Teilmengen gleichmäßige Konvergenz vorliegt.



Lemma  

Es sei eine Folge komplexer Zahlen und . Die Potenzreihe

sei für eine komplexe Zahl , , konvergent.

Dann ist für jeden reellen Radius  mit die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.

Beweis  

Wir werden Satz 16.6 auf anwenden. Wegen der Konvergenz für sind die Summanden nach Lemma 9.5 eine Nullfolge, d.h. es gibt insbesondere ein mit

für alle . Daher gelten für jedes die Abschätzungen

Dabei ist nach Voraussetzung . Daher liegen rechts die Summanden einer nach Satz 9.13 konvergenten geometrische Reihe vor. Deren Grenzwert liefert eine obere Schranke für die Reihe der Supremumsnormen.



Definition  

Für eine Potenzreihe

heißt

der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .

Jede Potenzreihe hat also grundsätzlich das gleiche Konvergenzverhalten: Es gibt eine Kreischeibe (die eben durch den Konvergenzradius bestimmt ist, wobei die Extremfälle und erlaubt sind) um den Entwicklungspunkt, in deren Innerem die Potenzreihe konvergiert und so, dass sie außerhalb davon in keinem Punkt konvergiert. Nur auf dem Rand der Kreisscheibe kann alles mögliche passieren. Der Fall ist nicht sehr interessant. Bei positivem Konvergenzradius (einschließlich dem Fall ) sagt man auch, dass die Potenzreihe konvergiert.



Korollar  

Es sei

eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius .

Dann stellt die Potenzreihe auf der offenen Kreisscheibe eine stetige Funktion dar.

Beweis  

Jeder Punkt liegt im Innern einer abgeschlossenen Kreisscheibe mit . Auf dieser abgeschlossenen Kreisscheibe ist die Potenzreihe nach Lemma 16.7 gleichmäßig konvergent, daher ist nach Lemma 16.4 die Grenzfunktion stetig.




Korollar  

Die Exponentialreihe und die trigonometrischen Reihen Sinus und Kosinus

besitzen einen unendlichen Konvergenzradius, und die komplexe Exponentialfunktion, die komplexe Sinusfunktion und die komplexe Kosinusfunktion sind stetig.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 15.5 und Korollar 16.9.




Korollar  

Für die (durch die Exponentialreihe definierte) reelle Exponentialfunktion

gilt

Beweis  

Dies folgt aus Satz 15.7, aus Korollar 16.10 und aus Aufgabe 14.17.


Die reelle Zahl stimmt mit der als eingeführten eulerschen Zahl überein, was wir aber noch nicht bewiesen haben. Aufgrund dieses Sachverhaltes und der vorstehenden Aussage schreiben wir häufig , und zwar auch für komplexe Argumente.



Der Identitätssatz für Potenzreihen



Lemma

Es seien und Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum sei. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Potenzreihe mit ist konvergent auf und stellt dort die Summenfunktion dar.
  2. Die Potenzreihe mit ist konvergent auf und stellt dort die Produktfunktion dar.

Beweis

Siehe Aufgabe 16.10.




Satz  

Es seien und Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein gibt, dass die dadurch definierten Funktionen

übereinstimmen.

Dann ist für alle .

Beweis  

Wir betrachten die Differenzreihe mit . Deren zugehörige Funktion ist nach Voraussetzung und nach Lemma 16.12  (1) auf die Nullfunktion. Nach Aufgabe 16.14 ist daher , also .



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