Cauchy-Produkt von Reihen
Zu
Reihen
∑
i
=
0
∞
a
i
{\displaystyle {}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}
und
∑
j
=
0
∞
b
j
{\displaystyle {}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}
komplexer Zahlen
heißt die Reihe
∑
k
=
0
∞
c
k
mit
c
k
=
∑
i
=
0
k
a
i
b
k
−
i
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}}
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
Es seien
∑
k
=
0
∞
a
k
und
∑
k
=
0
∞
b
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}}
zwei
absolut konvergente
Reihen
komplexer Zahlen .
Dann ist auch das
Cauchy-Produkt
∑
k
=
0
∞
c
k
{\displaystyle {}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}}
absolut konvergent und für die Summe gilt
∑
k
=
0
∞
c
k
=
(
∑
k
=
0
∞
a
k
)
⋅
(
∑
k
=
0
∞
b
k
)
.
{\displaystyle {}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.}
Wir müssen für die
Partialsummen
x
n
=
∑
i
=
0
n
a
i
,
y
n
=
∑
j
=
0
n
b
j
und
z
n
=
∑
k
=
0
n
c
k
{\displaystyle x_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\,y_{n}=\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\text{ und }}z_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}}
zeigen, dass
z
n
{\displaystyle {}z_{n}}
gegen den Limes der Folge
(
x
n
y
n
)
n
∈
N
{\displaystyle {}{\left(x_{n}y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}
konvergiert. Es ist
|
z
n
−
x
n
y
n
|
=
|
∑
k
=
0
n
c
k
−
(
∑
i
=
0
n
a
i
)
(
∑
j
=
0
n
b
j
)
|
=
|
∑
0
≤
i
,
j
≤
n
,
i
+
j
>
n
a
i
b
j
|
≤
∑
0
≤
i
,
j
≤
n
,
i
+
j
>
n
|
a
i
|
|
b
j
|
≤
(
∑
n
/
2
<
i
≤
n
|
a
i
|
)
(
∑
j
=
0
n
|
b
j
|
)
+
(
∑
n
/
2
<
j
≤
n
|
b
j
|
)
(
∑
i
=
0
n
|
a
i
|
)
≤
(
∑
n
/
2
<
i
≤
n
|
a
i
|
)
(
∑
j
=
0
∞
|
b
j
|
)
+
(
∑
n
/
2
<
j
≤
n
|
b
j
|
)
(
∑
i
=
0
∞
|
a
i
|
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {z_{n}-x_{n}y_{n}}\vert &=\vert {\sum _{k=0}^{n}c_{k}-{\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)}}\vert \\&=\vert {\sum _{0\leq i,j\leq n,\,i+j>n}a_{i}b_{j}}\vert \\&\leq \sum _{0\leq i,j\leq n,\,i+j>n}\vert {a_{i}}\vert \vert {b_{j}}\vert \\&\leq {\left(\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert \right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}\vert {b_{j}}\vert \right)}+{\left(\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert \right)}{\left(\sum _{i=0}^{n}\vert {a_{i}}\vert \right)}\\&\leq {\left(\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert \right)}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert \right)}+{\left(\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert \right)}{\left(\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \right)}.\end{aligned}}}
Da die beiden Reihen absolut konvergieren, und
∑
n
/
2
<
i
≤
n
|
a
i
|
{\displaystyle {}\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert }
und
∑
n
/
2
<
j
≤
n
|
b
j
|
{\displaystyle {}\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert }
nach
Aufgabe 9.15
Nullfolgen
sind, ist die rechte Seite insgesamt eine Nullfolge. Daher konvergiert die Folge
(
z
n
)
n
∈
N
{\displaystyle {}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}
nach
Aufgabe *****
{{:Kurs:Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Folge mit Nullfolge als Differenz/Konvergenz/Aufgabe/Aufgabereferenznummer /Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Folge mit Nullfolge als Differenz/Konvergenz/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}}
gegen das Produkt der Grenzwerte der beiden Reihen.
Die absolute Konvergenz folgt aus dem bisher Bewiesenen mit dem
Majorantenkriterium
aus der Abschätzung
|
c
k
|
≤
∑
i
=
0
k
|
a
i
|
|
b
k
−
i
|
{\displaystyle {}\vert {c_{k}}\vert \leq \sum _{i=0}^{k}\vert {a_{i}}\vert \vert {b_{k-i}}\vert }
.
◻
{\displaystyle \Box }
Potenzreihen
Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Zahl
z
∈
C
{\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}
,
z
≠
0
{\displaystyle {}z\neq 0}
, ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man
z
{\displaystyle {}z}
variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in
z
{\displaystyle {}z}
darstellt.
Genauer spricht man von einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt
0
{\displaystyle {}0}
. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt
a
∈
C
{\displaystyle {}a\in {\mathbb {C} }}
ist ein Ausdruck der Form
∑
n
=
0
∞
c
n
(
z
−
a
)
n
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.}
Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der neunten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe
∑
n
=
0
∞
z
n
{\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}
, die für
|
z
|
<
1
{\displaystyle {}\vert {z}\vert <1}
konvergiert und dort die Funktion
1
/
(
1
−
z
)
{\displaystyle {}1/(1-z)}
darstellt. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt.
Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion
Für jedes
z
∈
C
{\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}
heißt die
Reihe
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}
die Exponentialreihe in
z
{\displaystyle {}z}
.
Dies ist also die Reihe
1
+
z
+
z
2
2
+
z
3
6
+
z
4
24
+
z
5
120
+
z
6
720
+
z
7
5040
+
⋯
.
{\displaystyle 1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+{\frac {z^{4}}{24}}+{\frac {z^{5}}{120}}+{\frac {z^{6}}{720}}+{\frac {z^{7}}{5040}}+\cdots .}
Für jedes
z
∈
C
{\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}
ist die
Exponentialreihe
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}
absolut konvergent .
◻
{\displaystyle \Box }
Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.
Der Graph der reellen Exponentialfunktion
Die
Abbildung
C
⟶
C
,
z
⟼
exp
z
:=
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
,
{\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},}
heißt
(komplexe)
Exponentialfunktion .
Wir werden später sehen, dass diese Funktion für reelle Argumente die
Exponentialfunktion
zur Basis
exp
1
=
1
+
1
+
1
2
+
1
6
+
1
24
+
1
120
+
⋯
{\displaystyle \exp 1=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots }
ist, und dass
exp
1
{\displaystyle {}\exp 1}
mit der früher eingeführten eulerschen Zahl
e
{\displaystyle {}e}
übereinstimmt (
Korollar 16.11
und
Korollar 20.14 ).
Die folgende Aussage nennt man die Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion .
◻
{\displaystyle \Box }
Die trigonometrischen Reihen
Für
z
∈
C
{\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}
heißt
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}}
die Kosinusreihe und
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
die Sinusreihe zu
z
{\displaystyle {}z}
.
Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes
z
{\displaystyle {}z}
absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen
cos
z
:=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
(
2
n
)
!
und
sin
z
:=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \cos z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}{\text{ und }}\sin z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
heißen Kosinus und Sinus . Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.
Die Funktionen
C
⟶
C
,
z
⟼
cos
z
,
{\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,}
und
C
⟶
C
,
z
⟼
sin
z
,
{\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,}
besitzen für
z
,
w
∈
C
{\displaystyle {}z,w\in {\mathbb {C} }}
folgende Eigenschaften.
Für
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle {}z=x+{\mathrm {i} }y}
ist
exp
z
=
(
exp
x
)
(
cos
y
+
i
sin
y
)
.
{\displaystyle {}\exp z=(\exp x)(\cos y+{\mathrm {i} }\sin y)\,.}
Speziell gilt die eulersche Formel
exp
i
y
=
cos
y
+
i
sin
y
.
{\displaystyle {}\exp {\mathrm {i} }y=\cos y+{\mathrm {i} }\sin y\,.}
Es ist
cos
0
=
1
{\displaystyle {}\cos 0=1}
und
sin
0
=
0
{\displaystyle {}\sin 0=0}
.
Es ist{{
Zusatz/[ 3]
|text=Die Kosinusfunktion ist also eine
gerade Funktion
und die Sinusfunktion ist eine
ungerade Funktion
|
|ISZ=.|ESZ=
}}
cos
(
−
z
)
=
cos
z
{\displaystyle {}\cos \left(-z\right)=\cos z}
und
sin
(
−
z
)
=
−
sin
z
{\displaystyle {}\sin \left(-z\right)=-\sin z}
.
Es ist
cos
z
=
exp
(
i
z
)
+
exp
(
−
i
z
)
2
{\displaystyle {}\cos z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2}}\,}
und
sin
z
=
exp
(
i
z
)
−
exp
(
−
i
z
)
2
i
.
{\displaystyle {}\sin z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)-\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2{\mathrm {i} }}}\,.}
Es gelten die Additionstheoreme
cos
(
z
+
w
)
=
cos
z
cos
w
−
sin
z
sin
w
{\displaystyle {}\cos(z+w)=\cos z\,\cos w-\sin z\,\sin w\,}
und
sin
(
z
+
w
)
=
sin
z
cos
w
+
cos
z
sin
w
.
{\displaystyle {}\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w\,.}
Es gilt
(
cos
z
)
2
+
(
sin
z
)
2
=
1
.
{\displaystyle {}(\cos z)^{2}+(\sin z)^{2}=1\,.}
(1). Aufgrund von
Satz 15.7
gilt
exp
(
x
+
i
y
)
=
exp
x
⋅
exp
(
i
y
)
,
{\displaystyle {}\exp(x+{\mathrm {i} }y)=\exp x\cdot \exp \left({\mathrm {i} }y\right)\,,}
sodass wir nur noch den hinteren Faktor betrachten müssen. Nach
Aufgabe 15.8
und
Lemma 9.4 (1)
gilt
∑
n
=
0
∞
(
i
y
)
n
n
!
=
∑
k
=
0
∞
(
(
i
y
)
2
k
(
2
k
)
!
+
(
i
y
)
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
)
=
∑
k
=
0
∞
i
2
k
y
2
k
(
2
k
)
!
+
∑
k
=
0
∞
i
2
k
+
1
y
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
y
2
k
(
2
k
)
!
+
∑
k
=
0
∞
i
(
−
1
)
k
y
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
y
2
k
(
2
k
)
!
+
i
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
y
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
=
cos
y
+
i
sin
y
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\mathrm {i} }y)^{n}}{n!}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {({\mathrm {i} }y)^{2k}}{(2k)!}}+{\frac {({\mathrm {i} }y)^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{2k}{\frac {y^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{2k+1}{\frac {y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {y^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }(-1)^{k}{\frac {y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}y^{2k}}{(2k)!}}+{\mathrm {i} }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\cos y+{\mathrm {i} }\,\sin y.\end{aligned}}}
(2) und (3) folgen direkt aus der Definition der Reihen.
(4) folgt aus (1) und (3).
(5). Nach (4) ist
cos
(
z
+
w
)
=
exp
(
i
(
z
+
w
)
)
+
exp
(
−
i
(
z
+
w
)
)
2
=
exp
(
i
z
)
exp
(
i
w
)
+
exp
(
−
i
z
)
exp
(
−
i
w
)
2
=
1
2
(
(
cos
z
+
i
sin
z
)
(
cos
w
+
i
sin
w
)
+
(
cos
z
−
i
sin
z
)
(
cos
w
−
i
sin
w
)
)
=
1
2
(
cos
z
cos
w
+
i
(
cos
z
sin
w
+
sin
z
cos
w
)
−
sin
z
sin
w
+
cos
z
cos
w
−
i
(
cos
z
sin
w
+
sin
z
cos
w
)
−
sin
z
sin
w
)
=
cos
z
cos
w
−
sin
z
sin
w
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\cos \left(z+w\right)&={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }(z+w)\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }(z+w)\right)}{2}}\\&={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)\exp \left({\mathrm {i} }w\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)\exp \left(-{\mathrm {i} }w\right)}{2}}\\&={\frac {1}{2}}((\cos z+{\mathrm {i} }\sin z)(\cos w+{\mathrm {i} }\sin w)+(\cos z-{\mathrm {i} }\sin z)(\cos w-{\mathrm {i} }\sin w))\\&={\frac {1}{2}}(\cos z\cos w+{\mathrm {i} }(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w\\&\,\,\,\,\,\,+\cos z\cos w-{\mathrm {i} }(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w)\\&=\cos z\cos w-\sin z\sin w.\end{aligned}}}
Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich.
(6). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf
w
=
−
z
{\displaystyle {}w=-z}
und aufgrund von (2) ergibt sich
1
=
cos
0
=
cos
(
z
−
z
)
=
cos
z
cos
(
−
z
)
−
sin
z
sin
(
−
z
)
=
cos
z
cos
z
+
sin
z
sin
z
.
{\displaystyle {}1=\cos 0=\cos \left(z-z\right)=\cos z\cos \left(-z\right)-\sin z\sin \left(-z\right)=\cos z\cos z+\sin z\sin z\,.}
◻
{\displaystyle \Box }
Für reelle
z
{\displaystyle {}z}
sind
sin
z
{\displaystyle {}\sin z}
und
cos
z
{\displaystyle {}\cos z}
wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles
z
{\displaystyle {}z}
das Paar
(
cos
z
,
sin
z
)
{\displaystyle {}(\cos z,\sin z)}
ein Punkt auf dem Einheitskreis
{
(
x
,
y
)
∣
x
2
+
y
2
=
1
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}}
ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als
(
cos
z
,
sin
z
)
{\displaystyle {}(\cos z,\sin z)}
schreiben lässt, wobei man
z
{\displaystyle {}z}
als Winkel (im Bogenmaß) interpretieren kann. Dabei tritt die Periode
2
π
{\displaystyle {}2\pi }
auf, wobei wir die Kreiszahl
π
{\displaystyle {}\pi }
eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden.
Fußnoten
↑ Unter der reellen Exponentialfunktion verstehen wir hier die Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reellen Zahlen. Wir werden bald sehen, dass sie mit der Exponentialfunktion zur Basis
e
{\displaystyle {}e}
übereinstimmt.
↑ Eine Teilmenge
T
⊆
C
{\displaystyle T\subseteq {\mathbb {C} }}
heißt abgeschlossen, wenn jede Folge in
T
{\displaystyle {}T}
, die in
C
{\displaystyle {}{\mathbb {C} }}
konvergiert, schon in
T
{\displaystyle {}T}
konvergiert. Eine reelle Folge, die aufgefasst als komplexe Folge konvergiert, konvergiert offenbar in
R
{\displaystyle {}\mathbb {R} }
.
↑ Dies werden wir in Vorlesung 17 ausführlich begründen. Hier fassen wir nur jeweils zwei aufeinander folgende Reihenglieder zusammen, was aufgrund von
Aufgabe 15.8 möglich ist.