Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 13/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde für die Funktion
eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktion
Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die durch
definierte Funktion
nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein reelles Intervall und
eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass streng wachsend oder streng fallend ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme den Grenzwert der Folge
Aufgabe Referenznummer erstellen
Die Folge sei rekursiv durch und
definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion
mit der Eigenschaft, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls nicht abgeschlossen sein muss.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls und einer stetigen Funktion
derart, dass das Bild von beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion
mit der Eigenschaft, dass das Bild eines offenen Intervalls nicht offen sein muss.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten , , lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen und mindestens ein lokales Minimum besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien
stetige Funktionen. Es sei mit und es gebe ein mit . Zeige, dass es ein derart gibt, dass die Einschränkung die Nullfunktion ist.
Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass durch
eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung
gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme das Minimum der Funktion
(Achtung: Ableitungen haben wir noch nicht eingeführt!)
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde für die Funktion
eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme den Grenzwert der Folge
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (7 Punkte)Referenznummer erstellen
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