Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Vorlesung 14

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Gleichmäßige Stetigkeit

Die Funktion

ist stetig. In jedem Punkt gibt es zu jedem ein mit . Dabei hängt das nicht nur von der Zielgenauigkeit , sondern auch von ab. Je kleiner wird, desto steiler wird der Funktionsgraph und desto kleiner muss gewählt werden, damit das Bild der -Umgebung innerhalb der -Umgebung von landet. Es gibt natürlich auch Funktionen, bei denen man zu jedem ein findet, dass für alle die Stetigkeitseigenschaft sichert.


Definition  

Es sei eine Teilmenge,

eine Funktion. Dann heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .



Lemma  

Eine stetige Funktion

auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall

ist gleichmäßig stetig.

Beweis  

 Wir nehmen an, dass nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein mit der Eigenschaft, dass es für alle ein Punktepaar mit und gibt.[1] Insbesondere gibt es somit für jedes eine Punktepaar mit und . Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge eine in konvergente Teilfolge, deren Grenzwert, nennen wir ihn , wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge gegen konvergiert. Die Folge konvergiert ebenfalls gegen . Wegen der Stetigkeit konvergieren dann nach dem Folgenkriterium auch die beiden Bildfolgen und gegen . Es sei nun . Dann ist für hinreichend groß sowohl als auch . Dies ergibt mit der Dreiecksungleichung einen Widerspruch zu .



Fortsetzung von stetigen Funktionen

Definition  

Es sei eine Teilmenge,

eine stetige Funktion und es sei . Dann heißt eine Abbildung

eine stetige Fortsetzung von , wenn stetig ist und für alle gilt.

Eine stetige Funktion besitzt im Allgemeinen keine stetige Fortsetzung auf einen größeren Definitionsbereich. Beispielsweise kann die auf definierte Funktion nicht stetig auf ganz ausgedehnt werden. Ferner muss eine stetige Fortsetzung (oder Ausdehnung), wenn sie denn existiert, nicht eindeutig sein. Für beide Fragestellungen ist die Existenz von Funktionslimiten in Berührpunkten der Definitionsmenge entscheidend.


Definition  

Es sei . Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn es (mindestens) eine Folge gibt, die gegen konvergiert.



Satz  

Es sei eine Teilmenge,

eine stetige Funktion und es sei , wobei aus Berührpunkten von bestehe. Für jedes existiere der Grenzwert .

Dann ist die durch

definierte Abbildung eine stetige Fortsetzung von auf .

Beweis  

Sei und vorgegeben. Da ein Berührpunkt von ist und da der Grenzwert von in existiert (bei existiert er aufgrund der Stetigkeit), gibt es ein mit für alle . Sei nun mit . Es gibt ein mit und mit . Wegen der ersten Abschätzung und der Voraussetzung an ist . Insgesamt ist daher




Satz  

Es sei eine Teilmenge und die Menge aller Berührpunkte von . Es sei

eine gleichmäßig stetige Funktion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

Beweis  

Aufgrund von Satz 14.5 genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert für jedes existiert. Sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge konvergiert. Da diese Bildfolge in ist, und vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Sei vorgegeben. Wegen der [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
MDLUL/
Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|gleichmäßigen Stetigkeit]] von gibt es ein derart, dass für alle mit

ist. Wegen der Konvergenz der Folge gibt es ein mit für alle . Für alle gilt daher und somit insgesamt


Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen und die Folge betrachtet, die ebenfalls gegen konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.




Korollar  

Es sei

eine gleichmäßig stetige Funktion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

Beweis  

Dies folgt direkt aus Satz 14.6 und aus .



Reelle Exponentialfunktionen

Für jede positive reelle Zahl und ist eine positive reelle Zahl. Für eine weitere natürliche Zahl und eine positive reelle Zahl ist definiert. Für eine rationale Zahl ist daher definiert, und zwar ist dies unabhängig von der Wahl der Zähler und Nenner in der Darstellung von .



Lemma

Es sei eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Funktion

folgende Eigenschaften.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .
  5. Für ist [[{{:MDLUL/MDLUL/ ()|opt=Ziel}}|]].
  6. Für ist [[{{:MDLUL/MDLUL/ ()|opt=Ziel}}|]].
  7. Es ist für alle .
  8. Für ist .

Beweis

Siehe Aufgabe 14.10.




Lemma  

Es sei eine positive reelle Zahl.

Dann ist die Funktion

auf jedem beschränkten Intervall gleichmäßig stetig.

Beweis  

Wir betrachten Intervalle der Form mit . Aufgrund der Monotonie ist

für alle . Sei vorgegeben. Die Folge konvergiert gegen , daher gibt es insbesondere ein derart, dass

ist. Wir setzen . Dann gelten für zwei beliebige rationale Zahlen mit

unter Verwendung der Funktionalgleichung die Abschätzungen (wir beschränken uns auf den Fall und )


Die Exponentialfunktionen für die Basen und .


Aufgrund von Lemma 14.9 und Korollar 14.7 (mit einem beliebigen Intervall statt ganz .) lassen sich die zunächst nur auf definierten Exponentialfunktionen zu stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen fortsetzen. In diesem Sinn ist die folgende Definition zu verstehen.


Definition  

Sei eine positive reelle Zahl. Die Funktion

heißt Exponentialfunktion zur Basis .



Lemma

Es sei eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion

folgende Eigenschaften.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .
  5. Für ist [[{{:MDLUL/MDLUL/ ()|opt=Ziel}}|]].
  6. Für ist [[{{:MDLUL/MDLUL/ ()|opt=Ziel}}|]].
  7. Es ist für alle .
  8. Für ist .

Beweis

Siehe Aufgabe 14.13.

Eine besondere Rolle spielt die Exponentialfunktion zur Basis . Wir werden dafür bald eine weitere Beschreibung kennenlernen, die auch für komplexe Exponenten erklärt ist.



Fußnoten
  1. Von der Negation der gleichmäßigen Konvergenz her steht hier eigentlich , doch reicht für den anvisierten Widerspruch


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