Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 18/kontrolle
- Übungsaufgaben
Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln und durch Induktion mit Hilfe der Produktregel.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion
in einem beliebigen Punkt .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktion
Bestimme die Tangenten an , die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
mit Hilfe von
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei und .
a) Bestimme die Ableitung von und von .
b) Berechne die Hintereinanderschaltung .
c) Bestimme die Ableitung von mit Hilfe von Teil b).
d) Bestimme die Ableitung von mittels der Kettenregel.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass ein Polynom genau dann einen Grad besitzt (oder ist), wenn die -te Ableitung von das Nullpolynom ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es seien
zwei differenzierbare Funktionen und sei
a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.
b) Es sei nun
Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil a).
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die -fache Hintereinanderschaltung ()
die Beziehung
gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Die Funktion
sei für negatives konstant gleich und folge für dem unteren rechten Viertelkreis mit Mittelpunkt und Radius . Bestimme den Grad der Differenzierbarkeit dieser Funktion.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
ein Polynom vom Grad und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung
mit einem Polynom vom Grad .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
ein Polynom vom Grad , ein Punkt und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung
mit einem Polynom vom Grad .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Ableitung der Funktion
wobei die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 18.24 ändern
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Polynom, und . Zeige, dass genau dann ein Vielfaches von ist, wenn eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
eine rationale Funktion. Zeige, dass genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit gibt.
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