Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 39/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 39.1 ändern

Zeige, dass das Integral zu einer stetigen Kurve

in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum unabhängig von der gewählten Basis ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für stetige Kurven

wobei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sei.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über , und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld

längs des Weges


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das Wegintegral zur archimedischen Spirale

im Vektorfeld


Aufgabe Referenznummer erstellen

Seien natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Vektorfeldern.

a) ,

b) ,

c) ,

d) .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

ein stetiges Vektorfeld und

ein stetig differenzierbarer Weg. Es sei eine Stammfunktion zu . Zeige


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten das identische Vektorfeld

Zeige, dass für je zwei Punkte und für jeden stetig differenzierbaren Weg

mit und das Wegintegral gleich ist.


Aufgabe Aufgabe 39.14 ändern

Es sei eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,

stetige Vektorfelder und

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Für ist
  2. Es ist

    wobei den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.

  3. Wenn

    ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit ist, so ist

    wobei den aneinander gelegten Weg bezeichnet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über , und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

und das Vektorfeld

a) Berechne das Wegintegral .

b) Es sei

und . Berechne (unabhängig von a))


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das Vektorfeld

Bestimme das Wegintegral längs des gegen den Uhrzeigersinn einmal durchlaufenen Einheitsquadrates.


Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das Vektorfeld

Bestimme das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs des linearen Weges von nach .


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das konstante Vektorfeld

Zeige, dass für zwei Punkte und jeden stetig differenzierbaren Weg mit und das Wegintegral gleich ist.



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