Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesung 73

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Folgerungen aus dem Satz von Fubini

Beispiel  

Wir wollen das Integral der Funktion

über dem Rechteck mit dem Satz von Fubini ausrechnen. Dies führt auf




Korollar  

Es seien und zwei -endliche Maßräume und es seien und integrierbare Funktionen.

Dann ist auch die Funktion

integrierbar und es gilt

Beweis  

Wir nehmen zuerst und als nichtnegativ an. Dann gilt nach Satz 72.10

Für beliebige integrierbare Funktionen folgt daraus, angewendet auf die Betragsfunktionen, zunächst die Integrierbarkeit des Produkts und daraus mit derselben Rechnung die Formel.




Dichten

Die bisher bewiesenen Eigenschaften des Integrals erlauben es, ausgehend von einem Maß und einer integrierbaren Funktion neue Maße zu definieren.


Definition  

Es sei ein Maßraum und es sei

eine nichtnegative messbare Funktion. Dann nennt man das für jede messbare Teilmenge durch

definierte Maß auf das Maß zur Dichte . Es wird mit bezeichnet.

Bemerkung  

Die Vorstellung, die hinter einer Dichte liegt und zu dem Namen geführt hat, ist die physikalische Dichte eines Körpers. Zu einem Körper im Raum berechnet das Borel-Lebesgue-Maß das Volumen. Wenn man aber an der Masse dieses Körpers interessiert ist, so reicht die Kenntnis des Volumens nicht aus, es sei denn, der Körper ist homogen und besitzt überall eine konstante Dichte. In diesem Fall ist die Masse proportional zum Volumen. Bei einem nicht homogenen Körper hingegen muss man wissen, wie sich die Masse auf dem Körper verteilt. Eine solche Massenverteilung wird durch eine Dichtefunktion beschrieben, die jedem Punkt des Körpers die „infinitesimale Dichte“ in diesem Punkt zuordnet. Die Gesamtmasse ergibt sich dann durch Integration dieser Dichte bezüglich des Volumenmaßes.




Nullmengen unter differenzierbaren Abbildungen

Wir beginnen nun mit den Vorbereitungen zum Beweis der Transformationsformel.



Lemma  

Sei offen und sei

eine Lipschitz-stetige Abbildung. Es sei eine Nullmenge.

Dann ist auch eine Nullmenge.

Beweis  

Es gelte

mit einer Lipschitz-Konstanten. Zunächst ist für jeden Würfel mit der Kantenlänge das Bild in einem Ball mit einem Radius enthalten. Daher gibt es ein mit

für alle Würfel. Diese Abschätzung gilt dann auch für alle Quader, da diese beliebig nahe durch Vereinigungen von Würfeln approximiert werden können.

Da eine messbare Nullmenge ist, gibt es aufgrund der Konstruktion des Borel-Lebesgue-Maßes über das äußere Maß zu jedem eine abzählbare Überpflasterung

mit Quadern und mit
Daher gilt und somit

Da man beliebig klein wählen kann, muss eine Nullmenge sein.




Korollar  

Sei offen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei eine Nullmenge.

Dann ist auch eine Nullmenge.

Beweis  

Nach (einem Spezialfall von) Lemma 55.4 ist lokal Lipschitz-stetig. Die Nullmenge kann man abzählbar überdecken mit offenen Mengen, worauf Lipschitz-stetig ist. Die Aussage folgt dann aus Lemma 73.5.




Die Transformationsformel für Quader



Lemma  

Es seien und offene Mengen im und es sei

ein -Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante

für . Es sei ein kompakter achsenparalleler Quader

Dann gelten die Abschätzungen

Beweis  

Wir setzen . Wir beweisen zuerst die Abschätzung nach oben. Wir schreiben mit einem und wir müssen zeigen.
  Wir konstruieren induktiv eine Folge von Teilquadern mit der Eigenschaft

 Es sei . Für den Induktionsschluss von auf betrachten wir sämtliche Teilquader von mit halbierter Kantenlänge. Würden diese Teilquader alle die Ungleichung

erfüllen, so ergebe sich durch Aufsummieren sofort ein Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung. Es gibt also mindestens einen Quader mit .
Diese Quaderschachtelung definiert in jeder Komponente eine Intervallschachtelung und damit nach Satz 7.3 einen Punkt . Wegen der Translationsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes können wir und annehmen. Sei das totale Differential.
Da in differenzierbar ist, gilt

mit einer in stetigen Abbildung , die dort den Limes besitzt. Die lineare Approximation

bildet jeden Quader auf ein Parallelotop ab, das nach Satz 67.2 das Maß besitzt. Wir wollen mit für einen geeigneten Quader vergleichen. Da ein Diffeomorphismus vorliegt, ist ein Isomorphismus und daher gibt es ein mit . Somit gibt es wegen der Stetigkeit von zu jedem ein mit

für alle  mit . Es sei , , ein Quader. Für ist

D.h. dass in dem Parallelotop liegt, das aus durch Streckung mit dem Streckungsfaktor ensteht. Damit gilt


 Wir nehmen an, dass gilt. Dann kann man auch ein mit finden. Wir nehmen ein derart, dass die oben beschriebene Eigenschaft bezüglich diesem besitzt. Für hinreichend groß kann man dann die obige Überlegung auf die Quader anwenden und erhält

 im Widerspruch zur Konstruktion dieser Quaderfolge.Wir zeigen zunächst, dass die Abschätzung nach oben nicht nur für Quader, sondern für beliebige

kompakte Mengen gilt. Zu jedem gibt es eine abzählbare Überpflasterung , , von mit

Durch Beschränkung der Kantenlängen der kann man weiter erreichen, dass alle in einer größeren ebenfalls kompakten Menge liegen. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von auf kann man zu gegebenem die so wählen, dass gilt. Damit ergibt sich

Da und beliebig klein gewählt werden können, gilt diese Abschätzung auch ohne und .
Wir wenden nun die Abschätzung nach oben auf die Umkehrabbildung und an. Als Bild einer kompakten Menge ist kompakt. Dabei gilt aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes die Beziehung

mit . Dies ergibt

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle {{}} \begin{align} \lambda^n( Q ) & = \lambda^n(\varphi^{-1} (\varphi(Q) )) \\ & \leq {\max { \left( \mid\!\det {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>| D f |}} \!\mid , y \in \varphi (Q) \right) } } \cdot \lambda^n( \varphi(Q)) \\ & = {\max { \left( \mid\!\det {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|\left(Df\right)_{P} |{{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>| D f |}} }} \!\mid , x \in Q \right) } } \cdot \lambda^n( \varphi(Q)) \\ & = {\max { \left( \mid\!\det {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|\left(Df\right)_{P} |{{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>| D f |}} }}^{-1} \!\mid , x \in Q \right) } } \cdot \lambda^n( \varphi(Q)) \\ & = {\max { \left( \mid\!\det {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|\left(Df\right)_{P} |{{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>| D f |}} }} \!\mid^{-1} , x \in Q \right) } } \cdot \lambda^n( \varphi(Q)) . \end{align} }

Daraus ergibt sich




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