Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 29

Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=(t^{2}-4t+5)y\,.$

Kommentar:

Der erste Schritt, um eine Differentialgleichung zu lösen, ist, den Typ der Gleichung zu erkennen, und sich dann das zugehörige Lösungsverfahren heranzuziehen. In diesem Fall handelt es sich um eine gewöhnliche homogene lineare Differentialgleichung, das Vektorfeld hat die Gestalt

${}f(t,y)=g(t)\cdot y\,$

mit

${}g(t)=t^{2}-4t+5\,.$

Es ist sinnvoll, sich diese Bestandteile klar zu machen, da auf diese im Lösungsverfahren Bezug genommen wird. Für solche Differentialgleichungen ist Satz 29.2 zuständig. Wir müssen also eine Stammfunktion zu ${}g$ finden, was in diesem Fall, da es ein Polynom ist, kein Problem macht. In anderen Beispielen ist aber dies das Hauptproblem, eine Stammfunktion zu finden. Eine Stammfunktion ist

${}G(t)={\frac {1}{3}}t^{3}-2t^{2}+5t\,.$

Man könnte hier noch eine additive Konstante zulassen, doch der Lösungsansatz des Satzes ist sogar etwas allgemeiner. Nach dem Satz sind somit

$c\exp \left({\frac {1}{3}}t^{3}-2t^{2}+5t\right)$

mit einem beliebigen ${}c$ die Lösungen. Eine Integrationskonstante ${}d$ in der Stammfunktion könnte man als multiplikativen Faktor ${}c=e^{d}$ rausziehen, das würde aber nur positive Vorfaktoren ergeben.

 

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y'=(t^{2}-4t+5)y{\text{ mit }}y(6)=-3.$

Kommentar:

Dies schließt direkt an die vorstehende Aufgabe an. Wenn man ein Anfangswertproblem hat, muss man eigentlich immer zuerst die Differentialgleichung allgemein lösen und dann in einem zweiten Schritt mit der Anfangsbedingung noch einen freien Parameter festlegen. Es kann aber auch mal sein, dass es für das Anfangsproblem eine besonders einfache Lösung, typischerweise eine konstante Lösung, gibt, obwohl es schwierig ist, die Differentialgleichung allgemein zu lösen.

Hier jedenfalls kenn wir die allgemeine Lösung

$c\exp \left({\frac {1}{3}}t^{3}-2t^{2}+5t\right).$

Die zusätzliche Bedingung ist einfach, dass diese Funktion an der Stelle ${}6$ noch den Wert ${}-3$ haben soll. Dabei ist die ${}6$ für ${}t$ einzusetzen, und das legt dann ${}c$ fest.

${}c\exp \left({\frac {1}{3}}6^{3}-2\cdot 6^{2}+5\cdot 6\right)=-3\,,$

also ist

${}c=-{\frac {3}{\exp 30}}\,.$

Die Lösungsfunktion des Anfangswertproblems ist also

${}y(t)=-{\frac {3}{\exp 30}}\cdot \exp \left({\frac {1}{3}}t^{3}-2t^{2}+5t\right)\,.$

Hier unbedingt das wieder mit ${}t$ (und nicht mit eingesetztem ${}6$) schreiben, das Ergebnis muss eine Funktion sein!

 

Aufgabe

Zeige durch Ableiten, dass

${}y(t)={\sqrt[{n+1}]{e^{t^{n+1}}}}\,$

eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'=t^{n}y\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}y(t)$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}y'=g(t)y$ und ${}z(t)$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}z'=h(t)z$. Zeige, dass die Produktfunktion ${}yz$ eine Lösung der Differentialgleichung

${}u'=(g(t)+h(t))u\,$

ist, und zwar einmal durch Ableiten und einmal mit Satz 29.2.

Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=-{\frac {y}{t}}\,.$

Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t^{2}}}\,.$

Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=e^{t}y\,.$

Aufgabe

Bestätige durch Nachrechnen, dass die in Beispiel 29.7 gefundenen Funktionen

$y(t)=c{\frac {\sqrt {t-1}}{\sqrt {t+1}}}$

die Differentialgleichung

$y'=y/(t^{2}-1)$

erfüllen.

Aufgabe *

Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t^{2}(t-1)}}\,$

für ${}t>1$.

Aufgabe

Es sei

${}y'=g(t)y\,$

eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion ${}g$ und es sei ${}y$ eine differenzierbare Lösung.

a) Zeige, dass ${}y$ ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist.

b) Es sei ${}y(t_{0})=0$ für einen Zeitpunkt ${}t_{0}$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 18.36, dass ${}y^{(n)}(t_{0})=0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. gilt.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$. Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die ${}f$ eine Lösung ist.

Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

${}y'=y+7\,.$

Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

${}y'=y+e^{t}\,.$

Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

${}y'=y+e^{3t}\,.$

Kommentar:

Hier muss man zuerst wieder den Typ erkennen, es ist eine (gewöhnliche eindimensionale) lineare inhomogene Differentialgleichung. Im Normalfall muss man da zuerst die zugehörige homogene Differentialgleichung anschauen und lösen, das ist hier besonders einfach, das ist

${}y'=y\,$

mit der Lösung

${}a(t)=e^{t}\,.$

Konstanten muss man an dieser Stelle noch nicht berücksichtigen, da dies bei der „Variation der Konstanten“, dem Lösungsverfahren auf Satz 29.10 mitberücksichtigt wird. Gemäß dieses Satzes müssen wir die Störfunktion

${}h(t)=e^{3t}\,$

jetzt mitberücksichtigen. Wir müssen eine Stammfunktion von

${}{\frac {h(t)}{a(t)}}=e^{3t}e^{-t}=e^{2t}\,$

bestimmen, das ist ${}{\frac {1}{2}}e^{2t}$. Eine Lösung ist daher

${}{\frac {1}{2}}e^{2t}\cdot e^{t}={\frac {1}{2}}e^{3t}\,.$

Dies sollte man durch Ableiten bestätigen.

 

Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=y+{\frac {\sinh t}{\cosh ^{2}t}}.$

Die folgende Aussage nennt man das Superpositionsprinzip für inhomogene lineare Differentialgleichungen. Es besagt insbesondere, dass die Differenz zweier Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ist.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien

$g,h_{1},h_{2}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionen. Es sei ${}y_{1}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}y'=g(t)y+h_{1}(t)$ und es sei ${}y_{2}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}y'=g(t)y+h_{2}(t)$. Zeige, dass dann ${}y_{1}+y_{2}$ eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'=g(t)y+h_{1}(t)+h_{2}(t)\,$

ist.

Aufgabe

Petra sitzt im Straßenkaffee bei einer Außentemperatur von ${}20$ Grad. Ihr wird ein Kaffee serviert mit einer Temperatur von ${}90$ Grad, den sie erst in fünf Minuten nach einem wichtigen Telefonat trinken möchte. Sie trinkt ihren Kaffee ohne Zucker, aber mit einem Milchanteil von ${}10$ Prozent. Die Milch wird mit einer Temperatur von ${}10$ Grad in einer Kühlbox serviert, die die Temperatur konstant hält. Der Abkühlungskoeffizient für Kaffee und Milch (siehe Beispiel 29.11) sei ${}d={\frac {1}{500}}$, wobei die Zeit in Sekunden aufgefasst werde.

a) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch sofort in den Kaffee gekippt wird.

b) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird.

c) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird, und die Kühlbox nicht funktioniert.

Aufgabe *

a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ($t\in \mathbb {R} _{+}$)

$y'={\frac {y}{t}}.$

b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ($t\in \mathbb {R} _{+}$)

$y'={\frac {y}{t}}+t^{7}.$

c) Löse das Anfangswertproblem

$y'={\frac {y}{t}}+t^{7}{\text{ und }}y(1)=5.$

Aufgabe *

a) Finde alle Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=-{\frac {\sin t}{\cos t}}y+(t^{2}-3)\cos t$

für ${}t\in {]{-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}[}$.

b) Löse das Anfangswertproblem

$y'=-{\frac {\sin t}{\cos t}}y+(t^{2}-3)\cos t{\text{ mit }}y(0)=7.$

Aufgabe *

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'={\frac {2t}{t^{2}+1}}y\,.$

b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'={\frac {2t}{t^{2}+1}}y+t^{2}\,.$

Aufgabe

Finde alle Lösungen der in Beispiel 28.14 betrachteten Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=-{\frac {\beta }{m}}y'+g\,$

mit Hilfe von Satz 29.10.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'=(2t^{3}-7t+4)y{\text{ mit }}y(3)=7.$

Aufgabe (3 Punkte)

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t^{2}-3}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=(t+2)y+t\exp {\left({\frac {1}{2}}t^{2}+2t\right)}.$

Welche Lösung hat das Anfangswertproblem ${}y(1)=\pi$?

Aufgabe (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'={\frac {t}{t^{2}+2}}y{\text{ mit }}y(3)=7.$

Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=y+e^{2t}-4e^{-3t}+1.$

Aufgabe (5 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'={\frac {y}{t}}+{\frac {t^{3}-2t+5}{t^{2}-3}}.$