Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 30

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die konstanten Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

{}y'={\frac {\sin \left(\cos t\right)-e^{t^{5}}}{(t^{14}+8)e^{-t^{2}}+{\sqrt {t^{2}+\pi }}}}{\left(y^{2}+3y-5\right)}\,

Kommentar:

Hier haben wir es mit einer scheinbar komplizierten Differentialgleichung zu tun, aber davon lassen wir uns nicht abschrecken, denn die Aufgabe verlangt nur nach den konstanten Lösungen. Konstant bedeutet hier, dass die Lösung nicht von ${}t$ abhängt, sodass die Lösung von der Form ${}y(t)=c$ für gewisse Konstanten ${}c\in \mathbb {R}$ ist. Dementsprechend ist die Ableitung ${}y'=0$ und es folgt, dass

{}0={\frac {\sin \left(\cos t\right)-e^{t^{5}}}{(t^{14}+8)e^{-t^{2}}+{\sqrt {t^{2}+\pi }}}}{\left(c^{2}+3c-5\right)}\,

für alle ${}t$ in einem geeigneten Definitionsgebiet gelten muss. Die rechte Seite der Gleichung besteht aus zwei Faktoren, von denen einer nur von ${}t$ und der andere nur von ${}y$ abhängt (die Differentialgleichung besitzt also getrennte Variablen). Der von ${}t$ abhängige Faktor ist dabei auf keinem Intervall konstant Null, sodass folgt, dass der zweite Faktor konstant Null sein muss. Durch Lösen der quadratischen Gleichung

0=c^{2}+3c-5

erhalten wir schließlich genau zwei Lösungen, welche konstante Lösungen der Differentialgleichung sind.

Diskutieren und Fragen

Aufgabe

Welche Substitution wird im Beweis zu Satz 30.2 durchgeführt?

Aufgabe

Skizziere die zugrunde liegenden Vektorfelder der Differentialgleichungen

y'={\frac {1}{y}},\,y'=ty^{3}{\text{ und }}y'=-ty^{3}

sowie die in Beispiel 30.4, Beispiel 30.7 und Beispiel 30.8 angegebenen Lösungskurven.

Aufgabe

Bestätige die in Beispiel 30.4, Beispiel 30.7 und Beispiel 30.8 gefundenen Lösungskurven der Differentialgleichungen

y'={\frac {1}{y}},\,y'=ty^{3}{\text{ und }}y'=-ty^{3}

durch Ableiten.

Aufgabe

Interpretiere eine ortsunabhängige Differentialgleichung als eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen anhand des Lösungsansatzes für getrennte Variablen.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

{}y'=y\,

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Erhält man dabei alle Lösungen?

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

{}y'=y^{n}\,

mit ${}n\geq 1$ mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

{}y'=y^{n}\,

mit ${}n\leq -1$ mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

y'=e^{y},

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

y'={\frac {1}{\sin y}},

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Kommentar:

Die Differentialgleichung weist getrennte Variablen auf der Form ${}h(y)={\frac {1}{\sin y}}$ und ${}g(t)=1$ . In dieser Differentialgleichung taucht ${}t$ also gar nicht auf, aber wir werden sehen, dass die Lösungen dennoch von ${}t$ abhängen.

Mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen wählen wir ${}H(y)$ als eine Stammfunktion von ${}{\frac {1}{h(y)}}=\sin(y)$ . Daher ist ${}H$ von der Form ${}H(y)=-\cos(y)+c$ für eine beliebige Integrationskonstante ${}c$ . Außerdem ist ${}G(t)=t+b$ eine Stammfunktion von ${}g(t)$ mit Integrationskonstante ${}b$ .

Nach dem Lösungsansatz sind die Lösungen nun von der Form ${}y(t)=H^{-1}(G(t))$ . Dazu müssen wir die Umkehrfunktion von ${}H$ bestimmen. Durch Auflösen von ${}H(y)=z$ nach ${}y$ ergibt sich dabei ${}y=\arccos(-z+c)=H^{-1}(z)$ .

Daraus folgt ${}H^{-1}(G(t))=\arccos(-t-b+c)$ . Dabei fällt auf, dass wir die Konstanten ${}b,c$ zu einer einzelnen Konstanten ${}C=-b+c$ zusammenfassen können. Insgesamt sind also die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

y(t)=H^{-1}(G(t))=\arccos(-t+C),\quad C\in \mathbb {R} .

Zu beachten ist hier, dass diese Lösung nur sinnvoll definiert ist, wenn ${}-1\leq -t+C\leq 1$ gilt, was eine Bedingung an ${}t$ darstellt.

Außerdem können wir uns durch Ableiten von ${}y$ von der Richtigkeit der Lösung überzeugen. Dabei kann Satz 18.10 verwendet werden, um die Ableitung von ${}\arccos$ zu bestimmen.

Diskussion:

Weiterfragen

Aufgabe

Löse die Differentialgleichung

{}y'=ty\,

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe *

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

y'={\frac {t}{t^{2}-1}}y^{2}

mit ${}t>1$ und ${}y<0$ .

Aufgabe *

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ( ${}y>0$ )

y'=t^{2}y^{3}

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?

Aufgabe *

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

y'={\frac {t^{3}}{y^{2}}},\,y>0,\,t>0,

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

y'={\frac {t^{3}}{y^{2}}}{\text{ mit }}y(1)=1.

Aufgabe

Betrachte die in Beispiel 30.9 gefundenen Lösungen

{}y(t)={\frac {g}{1+\exp(-st)}}\,

der logistischen Differentialgleichung.

a) Skizziere diese Funktion (für geeignete ${}s$ und ${}g$ ).

b) Bestimme die Grenzwerte für ${}t\rightarrow \infty$ und ${}t\rightarrow -\infty$ .

c) Studiere das Monotonieverhalten dieser Funktionen.

d) Für welche ${}t$ besitzt die Ableitung von ${}y(t)$ ein Maximum (für die Funktion selbst bedeutet dies einen Wendepunkt, man spricht auch von einem Vitalitätsknick).

e) Über welche Symmetrien verfügen diese Funktionen?

Aufgabe *

Zeige, dass das Anfangswertproblem

{}y'=3y^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{y^{2}}}\,

mit ${}y(0)=0$ zwei verschiedene Lösungen auf ${}\mathbb {R}$ besitzt. Warum kann man hier den Lösungssatz für zeitunabhängige Differentialgleichungen nicht anwenden?