Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 31/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine wachsende Funktion und . Zeige, dass die Folge , , genau dann gegen konvergiert, wenn
gilt, wenn also die Funktion für den Grenzwert besitzt.
Aufgabe Aufgabe 31.2 ändern
Es sei ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und seien Funktionen derart, dass die Grenzwerte und existieren. Zeige, dass folgende Beziehungen gelten.
- Die Summe besitzt einen Grenzwert für , und zwar ist
- Das Produkt besitzt einen Grenzwert für , und zwar ist
- Es sei für alle und . Dann besitzt der Quotient einen Grenzwert für , und zwar ist
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Intervall, ein (uneigentlicher) Randpunkt von und
eine stetige Funktion. Zeige, dass die Existenz des uneigentlichen Integrals
nicht vom gewählten Startpunkt abhängt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein beschränktes offenes Intervall und
eine stetige Funktion, die sich auf stetig fortsetzen lässt. Zeige, dass dann das uneigentliche Integral
existiert und mit dem bestimmten Integral
übereinstimmt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Formuliere und beweise Rechenregeln für uneigentliche Integrale (analog zu Lemma 23.15).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktion
die auf
definiert ist. Entscheide für jedes Teilintervall und jeden (uneigentlichen) Randpunkt, ob das uneigentliche Integral existiert oder nicht.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme das uneigentliche Integral
Aufgabe * Aufgabe 31.9 ändern
Zeige
Aufgabe Aufgabe 31.10 ändern
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
a) Sei
eine monoton fallende stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
existiert. Zeige, dass
ist.
b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion
Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne das uneigentliche Integral
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne die Energie, die nötig wäre, um die Erde, ausgehend von der jetzigen Lage relativ zur Sonne, unendlich weit von der Sonne zu entfernen.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen
(Versuche nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.)
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für eine unbeschränkte, stetige Funktion
derart, dass das uneigentliche Integral existiert.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein beschränktes Intervall und es sei
eine stetige Funktion. Es sei eine fallende Folge in mit dem Grenzwert und eine wachsende Folge in mit dem Grenzwert . Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass die Folge
gegen das uneigentliche Integral konvergiert.