Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 19

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Aufgabe

Zeige, dass zu der Modul der Kähler-Differentiale im Nullpunkt nicht frei ist.


Aufgabe

Zeige, dass es ein glattes Schema von endlichem Typ über einem Körper gibt, bei dem der Rang des Moduls der Kähler-Differentiale nicht konstant ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative -Algebra. ein -Modul und eine -Derivation. Zeige, dass auf jeder offenen Menge eine -Derivation

existiert, die mit kommutiert.

Betrachte zuerst die offenen Mengen .

Aufgabe

Es sei ein integres Schema über einem integren Basisschema . Zeige, dass eine auf einer offenen Teilmenge definierte -Derivation eine -Derivation

definiert.


Aufgabe

Es sei ein Schema von endlichem Typ über einem Basisschema . Zeige, dass ein kohärenter -Modul ist.


Aufgabe

Es sei ein Schema über dem Schema . Zeige, dass die Garbe der Kähler-Differentiale auf die Vergarbung der Prägarbe

ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale auf der projektiven Geraden über einem kommutativen Ring isomorph zur getwisteten Strukturgarbe ist.


Aufgabe

Betrachte die Tangentialgarbe auf der projektiven Geraden über einem kommutativen Ring mit der Isomorphie

Bestimme die globalen Schnitte von , die den globalen Derivationen , , , entsprechen.


Aufgabe

Bestimme auf der projektiven Ebene die Ableitung zur rationalen Funktion . Auf welcher offenen Teilmenge sind und definiert?


Aufgabe *

Wie betrachten die Kurve

über einem Körper der Charakteristik . Zeige, dass die Differentialformen

auf den Durchschnitten übereinstimmen und daher eine nichttriviale Differentialform auf der Kurve definieren.


Aufgabe

Drücke die Einschränkungen der globalen Derivationen des projektiven Raumes auf die offene Teilmenge

(mit ) als Linearkombinationen der Form mit aus.


Aufgabe

Wir betrachten die Fermat-Kubik in vier Variablen, also

und den affinen Ausschnitt

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik . Zeige, dass durch

und

eine rationale Parametrisierung

gegeben ist.



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