Es sei
ein
Schemamorphismus.
Zeige, dass durch ein
Gruppenhomomorphismus
-
festgelegt ist.
Für die beiden folgenden Aufgaben beachte man
Bemerkung 20.3.
Es sei
ein
Schemamorphismus.
Zeige, dass der
Gruppenhomomorphismus
-
mit Hilfe der Kozykelbeschreibung aus
Bemerkung 20.2
folgendermaßen beschrieben werden kann: Dem Kozykel
, ,
zu einer offenen Überdeckung
wird der Kozykel
, ,
bezüglich der Überdeckung
zugeordnet, wobei die
-
die zugehörigen Ringhomomorphismen bezeichnen.
Es sei
ein
standard-graduierter Ring
mit der
offenen Überdeckung
-
des
punktierten Spektrums
und der offenen Überdeckung
-
des zugehörigen
projektiven Spektrums.
Sei
.
Zeige die folgenden Aussagen.
- Die Familie der Einheiten
, ,
legt den Kozykel
, ,
fest, der die triviale
invertierbare Garbe
auf repräsentiert.
- Den Kozykel aus (1) kann man als einen Kozykel auf dem projektiven Spektrum auffassen.
- Die invertierbare Garbe, die durch den Kozykel aus (2) auf festgelegt ist, ist isomorph zur
getwisteten Strukturgarbe
(oder aber zu , hier gibt es eine Vorzeichenwahl).
- Die zurückgezogene Garbe einer getwisteten Strukturgarbe unter der
Kegelabbildung
ist trivial.
Als Einstimmung auf
Lemma 20.13
dient die folgende Aufgabe.
Zeige, dass die
Picardgruppe
zum
punktierten Spektrum
-
zum
lokalen Ring
gleich ist
(vergleiche
Beispiel 20.15).
Zeige, dass es auf dem
punktierten Spektrum
-
zu
invertierbare Garben
gibt, die man nicht zu einer invertierbaren Garbe auf ausdehnen kann.
Zeige, dass die
invertierbaren Garben
auf dem
punktierten Spektrum
-
Einschränkungen der
kohärenten
Idealgarben
zu den Idealen
,
in sind.
Es sei
.
WIr betrachten zu
die
-
Algebren
und die zugehörige
Spektrumsabbildung
-
Zeige, dass die oberhalb von
-
Geradenbündel
sind, die für
nicht trivial sind. Zeige ferner, dass bei
kein Geradenbündel über ist.
Es sei
der
projektive Raum
über einem
Körper
. Zeige, dass die
Picardgruppe
zur offenen Teilmenge
-
()
isomorph
zu ist.