Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 20

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Aufgabe

Es sei ein Schemamorphismus. Zeige, dass durch ein Gruppenhomomorphismus

festgelegt ist.


Für die beiden folgenden Aufgaben beachte man Bemerkung 20.3.

Aufgabe

Es sei ein Schemamorphismus. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

mit Hilfe der Kozykelbeschreibung aus Bemerkung 20.2 folgendermaßen beschrieben werden kann: Dem Kozykel , , zu einer offenen Überdeckung wird der Kozykel , , bezüglich der Überdeckung zugeordnet, wobei die

die zugehörigen Ringhomomorphismen bezeichnen.


Aufgabe

Es sei ein standard-graduierter Ring mit der offenen Überdeckung

des punktierten Spektrums und der offenen Überdeckung

des zugehörigen projektiven Spektrums. Sei . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Familie der Einheiten , , legt den Kozykel , , fest, der die triviale invertierbare Garbe auf repräsentiert.
  2. Den Kozykel aus (1) kann man als einen Kozykel auf dem projektiven Spektrum auffassen.
  3. Die invertierbare Garbe, die durch den Kozykel aus (2) auf festgelegt ist, ist isomorph zur getwisteten Strukturgarbe (oder aber zu , hier gibt es eine Vorzeichenwahl).
  4. Die zurückgezogene Garbe einer getwisteten Strukturgarbe unter der Kegelabbildung ist trivial.


Aufgabe

Es sei ein faktorieller Integritätsbereich. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Zu , , ist genau dann, wenn mit dem Exponenten in der Primfaktorzerlegung von vorkommmt.
  2. Zwei Hauptideale und stimmen genau dann überein, wenn für jedes Primelement in der Lokalisierung die Ideale und übereinstimmen.


Als Einstimmung auf Lemma 20.13 dient die folgende Aufgabe.

Aufgabe

Es sei ein faktorieller Integritätsbereich und . Zeige mit Hilfe von Bemerkung 20.2, dass die Picardgruppe von

trivial ist.


Aufgabe

Es sei ein noetherscher Integritätsbereich derart, dass sämtliche Lokalisierungen faktoriell seien. Es sei eine offene Teilmengen und es sei ein Punkt der Kodimension (das Primideal besitzt also eine Höhe .) Zeige, dass dann eine invertierbare Garbe auf eine eindeutige Ausdehnung auf eine offene Menge besitzt, die und umfasst.


Aufgabe

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich mit der offenen Teilmenge . Zeige, dass man die Strukturgarbe auf in mehrfacher Weise zu einer invertierbaren Garbe auf fortsetzen kann.


Aufgabe

Zeige, dass die Picardgruppe zum punktierten Spektrum

zum lokalen Ring gleich ist (vergleiche Beispiel 20.15).


Aufgabe

Zeige, dass es auf dem punktierten Spektrum

zu invertierbare Garben gibt, die man nicht zu einer invertierbaren Garbe auf ausdehnen kann.


Aufgabe

Zeige, dass die invertierbaren Garben auf dem punktierten Spektrum

Einschränkungen der kohärenten Idealgarben zu den Idealen , in sind.


Aufgabe

Es sei . WIr betrachten zu die -Algebren und die zugehörige Spektrumsabbildung

Zeige, dass die oberhalb von

Geradenbündel sind, die für nicht trivial sind. Zeige ferner, dass bei kein Geradenbündel über ist.


Aufgabe

Es sei der projektive Raum über einem Körper . Zeige, dass die Picardgruppe zur offenen Teilmenge

() isomorph zu ist.


Aufgabe

Es sei der projektive Raum über einem Körper . Zeige, dass die Picardgruppe von bei isomorph zu ist.



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