Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 20

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Schemamorphismus. Zeige, dass durch ${}{\mathcal {L}}\mapsto \varphi ^{*}{\mathcal {L}}$ ein Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Pic} {\left(Y\right)}\longrightarrow \operatorname {Pic} {\left(X\right)}$

festgelegt ist.

Für die beiden folgenden Aufgaben beachte man Bemerkung 20.3.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Schemamorphismus. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Pic} {\left(Y\right)}\longrightarrow \operatorname {Pic} {\left(X\right)},\,{\mathcal {L}}\longmapsto \varphi ^{*}{\mathcal {L}},$

mit Hilfe der Kozykelbeschreibung aus Bemerkung 20.2 folgendermaßen beschrieben werden kann: Dem Kozykel ${}r_{ij}\in \left(\Gamma {\left(V_{i}\cap V_{j},{\mathcal {O}}_{Y}\right)}\right)^{\times }$, ${}i<j$, zu einer offenen Überdeckung ${}Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ wird der Kozykel ${}\theta _{ij}(r_{ij})\in \left(\Gamma {\left(\varphi ^{-1}(V_{i})\cap \varphi ^{-1}(V_{j}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)^{\times }$, ${}i<j$, bezüglich der Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}\varphi ^{-1}(V_{i})$ zugeordnet, wobei die

$\theta _{ij}\colon \Gamma {\left(V_{i}\cap V_{j},{\mathcal {O}}_{Y}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(\varphi ^{-1}(V_{i}\cap V_{j}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}$

die zugehörigen Ringhomomorphismen bezeichnen.

Aufgabe

Es sei ${}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ ein standard-graduierter Ring mit der offenen Überdeckung

${}U=\operatorname {Spek} {\left(A\right)}\setminus \{A_{+}\}=\bigcup _{i=1}^{n}D(X_{i})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}=X\,$

des punktierten Spektrums und der offenen Überdeckung

${}Y=\operatorname {Proj} {\left(A\right)}=\bigcup _{i=1}^{n}D_{+}(X_{i})\,$

des zugehörigen projektiven Spektrums. Sei ${}\ell \in \mathbb {Z}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Familie der Einheiten ${}X_{i}^{\ell }\in \left(\Gamma {\left(D(X_{i}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)^{\times }$, ${}i=1,\ldots ,n$, legt den Kozykel ${}X_{j}^{\ell }X_{i}^{-\ell }\in \left(\Gamma {\left(D(X_{i}X_{j}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)^{\times }$, ${}i<j$, fest, der die triviale invertierbare Garbe auf ${}U$ repräsentiert.
2. Den Kozykel aus (1) kann man als einen Kozykel auf dem projektiven Spektrum ${}Y$ auffassen.
3. Die invertierbare Garbe, die durch den Kozykel aus (2) auf ${}Y$ festgelegt ist, ist isomorph zur getwisteten Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{Y}(\ell )$ (oder aber zu ${}{\mathcal {O}}_{Y}(-\ell )$, hier gibt es eine Vorzeichenwahl).
4. Die zurückgezogene Garbe einer getwisteten Strukturgarbe unter der Kegelabbildung ${}U\rightarrow Y$ ist trivial.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, ist ${}(f)R_{(p)}=(p^{s})$ genau dann, wenn ${}p$ mit dem Exponenten ${}s$ in der Primfaktorzerlegung von ${}f$ vorkommmt.
2. Zwei Hauptideale ${}(f)$ und ${}(g)$ stimmen genau dann überein, wenn für jedes Primelement ${}p$ in der Lokalisierung ${}R_{(p)}$ die Ideale ${}(f)R_{(p)}$ und ${}(g)R_{(p)}$ übereinstimmen.

Als Einstimmung auf Lemma 20.13 dient die folgende Aufgabe.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich und ${}f,g\in R$. Zeige mit Hilfe von Bemerkung 20.2, dass die Picardgruppe von

${}D(f,g)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\,$

trivial ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich derart, dass sämtliche Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ faktoriell seien. Es sei ${}U\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene Teilmengen und es sei ${}{\mathfrak {p}}\notin U$ ein Punkt der Kodimension ${}\geq 2$ (das Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ besitzt also eine Höhe ${}\geq 2$.) Zeige, dass dann eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}U$ eine eindeutige Ausdehnung auf eine offene Menge ${}U'$ besitzt, die ${}U$ und ${}{\mathfrak {p}}$ umfasst.

Aufgabe

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ mit der offenen Teilmenge ${}D(2)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Zeige, dass man die Strukturgarbe auf ${}D(2)$ in mehrfacher Weise zu einer invertierbaren Garbe auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ fortsetzen kann.

Aufgabe

Zeige, dass die Picardgruppe zum punktierten Spektrum

${}U=D(X,Y,Z)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})_{(X,Y,Z)}\right)}\,$

zum lokalen Ring ${}K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})_{(X,Y,Z)}$ gleich ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist (vergleiche Beispiel 20.15).

Aufgabe

Zeige, dass es auf dem punktierten Spektrum

${}U=D(X,Y,Z)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})\right)}\,$

zu ${}n\geq 2$ invertierbare Garben gibt, die man nicht zu einer invertierbaren Garbe auf ${}\operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})\right)}$ ausdehnen kann.

Aufgabe

Zeige, dass die invertierbaren Garben auf dem punktierten Spektrum

${}U=D(X,Y,Z)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})\right)}\,$

Einschränkungen der kohärenten Idealgarben zu den Idealen ${}(X,Z^{i})$, ${}i=0,\ldots ,n-1$ in ${}K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}R=K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})$. WIr betrachten zu ${}i=0,1,\ldots ,n-1$ die ${}R$- Algebren ${}A_{i}=R[S,T]/(SX+TZ^{i})$ und die zugehörige Spektrumsabbildung

$\pi _{i}\colon \operatorname {Spek} {\left(A_{i}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}.$

Zeige, dass die ${}\pi _{i}$ oberhalb von

${}U=D(X,Y,Z)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})\right)}\,$

Geradenbündel sind, die für ${}i\neq 0$ nicht trivial sind. Zeige ferner, dass ${}\operatorname {Spek} {\left(A_{i}\right)}$ bei ${}i\neq 0$ kein Geradenbündel über ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{d}=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]\right)}$ der projektive Raum über einem Körper ${}K$. Zeige, dass die Picardgruppe zur offenen Teilmenge

${}D_{+}(X_{i},X_{j})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{d}\,$

(${}i\neq j$) isomorph zu ${}\mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{d}=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]\right)}$ der projektive Raum über einem Körper ${}K$. Zeige, dass die Picardgruppe von ${}{\mathbb {P} }_{K}^{d}$ bei ${}d\geq 1$ isomorph zu ${}\mathbb {Z}$ ist.