Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 19

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Die Picardgruppe

Definition  

Zu einem beringten Raum nennt man die Menge der Isomorphieklassen von invertierbaren Garben auf mit der Tensorierung als Verknüpfung, der dualen Garbe als inverses Element und der Strukturgarbe als neutralem Element die Picardgruppe von . Sie wird mit bezeichnet.

Wir beschränken uns auf Schemata.


Lemma

Für einen lokalen Ring

ist die Picardgruppe von trivial.

Beweis

Das ist trivial.





Lemma  

Sei ein integres Schema.

Dann ist jede invertierbare Garbe auf isomorph zu einem -Untermodul der konstanten Funktionenkörpergarbe.

Beweis  

Es sei der Funktionenkörper von und die zugehörige Garbe. Für eine invertierbare Garbe ist der Halm im generischen Punkt ein eindimensionaler -Vektorraum. Wir fixieren einen -Isomorphismus . Für jede offene Menge gibt es eine natürliche Abbildung

Diese sind injektiv (vergleiche den Beweis zu Lemma 10.16) und definieren einen Untermodul von .




Lemma  

Sei ein Integritätsbereich.

Dann ist jede invertierbare Garbe auf isomorph zu eine Idealgarbe.

Beweis  

Nach Lemma 17.4 können wir direkt davon ausgehen, dass ein invertierbarer Untermodul des Quotientenkörpers vorliegt. Die Invertierbarkeit bedeutet nach Satz 15.2, dass es eine Familie

derart gibt, dass mit gibt. Es sei ein Hauptnenner der . Dann wird unter der Multiplikationsabbildung

die ein -Modulisomorphismus von ist, der Untermodul auf einen dazu isomorphen Untermodul abgebildet. Dieser ist in der gegebenen Überdeckung ein Untermodul der Strukturgarbe, also ein Ideal.



Lemma

Es sei ein faktorieller Integritätsbereich. Dann gelten die folgenden Aussagen.

  1. Zu , , ist genau dann, wenn mit dem Exponenten in der Primfaktorzerlegung von vorkommmt.
  2. Zwei [[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]] und stimmen genau dann überein, wenn für jedes Primelement in der [[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]] die Ideale und übereinstimmen

Beweis

Siehe Aufgabe *****.




Lemma  

Beweis  

Es sei ein Ideal, das invertierbar sei, und sei

eine offene Überdeckung derart, dass ein Hauptideal ist. Es ist insbesondere zu jedem Primelement das Ideal ein Hauptideal und damit von der Form , da ein diskreter Bewertungsring ist. Dabei sind die nur für endlich viele Primelemente von verschieden. Zu einem Element , . gibt es nämlich nur endlich viele Primteiler und für die anderen Primelemente ist eine Einheit in . Wir behaupten, dass mit dem von erzeugten Hauptideal übereinstimmt. Da man die Gleichheit von Idealen lokal zu einer Überdeckung testen kann, können wir in argumentieren. Die Aussage folgt dann aus Lemma 18.6.




Beispiel  

Sei ein Schema und eine invertierbare Garbe auf , die in der Picardgruppe endliche Ordnung besitze, wobei in invertierbar sei. Mit einem fixierten Isomorphismus kann man auf der direkten Summe

eine -Algebra-Struktur definieren. Das zugehörige (relative) Spektrum definiert einen endlichen Schemamorphismus

Dieser ist flach, da die Algebra lokal frei ist. Die Unverzweigtheit weist man auch lokal nach, wobei man zu offenen affinen Mengen übergeht, über denen trivial ist. Auf einer solchen Menge wird die Algebra durch mit einer Einheit gegeben. Die relativen Differentiale werden von erzeugt und dafür gilt

Da sowohl als auch (als Teiler von ) Einheiten sind, ist . Wenn man die invertierbare Garbe nach zurückzieht, so ergibt sich wegen

die Strukturgarbe. Die konstruierte étale Abbildung trivialisiert also diese Torsionsgarbe.






Normale Ringe

Definition  

Sei ein kommutativer Ring und sei die Menge der Nichtnullteiler von . Dann nennt man die Nenneraufnahme den totalen Quotientenring von . Er wird mit bezeichnet.


Definition  

Ein kommutativer Ring heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem totalen Quotientenring ist.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und sein totaler Quotientenring. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in die Normalisierung von .


Beispiel  

Wir bestimmen die Normalisierung des Ringes über einem Körper . Das Element ist ein Nichtnullteiler und für das Element aus dem totalen Quotientenring gilt

d.h. dieses Element erfüllt eine Ganzheitsgleichung und gehört somit zur Normalisierung.




Normale Schemata

Definition  

Ein Schema heißt normal, wenn jeder lokale Ring zu ein normaler Ring ist.



Lemma  

Für ein Schema sind folgende Eigenschaften äquivalent.

  1. ist normal.
  2. Für jede offene affine Teilmenge von ist ein normaler Ring.
  3. Es gibt eine offene affine Überdeckung mit , wobei ein normaler Ring ist.

Beweis  

Von (2) nach (3) ist eine Einschränkung. Sei (3) erfüllt. Für einen jeden Punkt gibt es somit eine offene affine Umgebung

mit normal. Dabei ist mit einem Primideal aus . Nach Satz 23.3 (Kommutative Algebra) ist ebenfalls normal.



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