Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 18

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Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative -Algebra, ein -Modul und eine -Derivation. Zeige

für jedes .


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative -Algebra, ein -Modul und eine -Derivation. Zeige

für .


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative -Algebra, ein -Modul und eine -Derivation. Es sei . Zeige


Aufgabe

Es sei eine kommutative -Algebra und ein -Modul. Zeige, dass die Menge der Derivationen von nach ein -Modul wird, wenn man durch

definiert.


Aufgabe

Es sei eine kommutative -Algebra und ein multiplikatives System. Es sei eine -Derivation. Zeige, dass durch

eine Derivation auf der Nenneraufnahme gegeben ist, die fortsetzt.


Aufgabe *

Es sei eine kommutative -Algebra über einem kommutativen Ring . Zu bezeichne

die -lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei -linearen Abbildungen

bezeichne

Es sei eine -Derivation. Zeige, dass zu jedem die Abbildung eine Multiplikationsabbildung ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative -Algebra und der Modul der Kähler-Differentiale. Zeige, dass die universelle Derivation

eine Derivation ist.


Aufgabe

Bestimme .


Aufgabe

Sei eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige .


Aufgabe

Bestimme .


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und

mit einem Polynom (die Nullstellenmenge ist also der Graph zu ). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass ein freier -Modul vom Rang ist.


Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf das Tensorprodukt von Moduln und von Algebren, siehe auch den Anhang.

Aufgabe

Berechne .


Aufgabe

Berechne das Tensorprodukt


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige die -Modulisomorphie


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien Ideale. Zeige die -Algebraisomorphie


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien multiplikative Systeme. Zeige die -Algebraisomorphie


Aufgabe

Es seien und kommutative Monoide und ein kommutativer Ring. Zeige die -Algebraisomorphie


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Zeige


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative -Algebra und ein multiplikatives System. Zeige, dass dann

gilt.


Aufgabe

Diskutiere Lemma 18.8 im Fall, dass ein Körper der positiven Charakteristik , und ist.


Aufgabe

Beschreibe für den Modul der Kähler-Differentiale mit Erzeugern und Relationen.


Aufgabe

Bestimme mit Hilfe von Korollar 18.9.


Aufgabe

Sei eine Primzahl. Wir betrachten die Körpererweiterung, die durch

mit gegeben ist. Zeige, dass Lemma 18.14 in dieser Situation nicht gilt.


Aufgabe

Sei eine Primzahl und

Zeige, dass ist, dass regulär ist und dass der Modul der Kähler-Differentiale nicht frei ist.


Aufgabe

Sei . Zeige, dass der -Modul der Kählerdifferentiale

eingeschränkt auf die offenen Mengen (also etc.) frei ist und dass damit lokal frei ist.



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