Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 18

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra, ${}M$ ein ${}R$- Modul und ${}D\colon A\rightarrow M$ eine ${}R$- Derivation. Zeige

${}D{\left(f^{n}\right)}=nf^{n-1}D(f)\,$

für jedes ${}f\in A$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra, ${}M$ ein ${}R$- Modul und ${}D\colon A\rightarrow M$ eine ${}R$- Derivation. Zeige

${}D{\left(f_{1}\cdots f_{r}\right)}=f_{2}\cdots f_{r}D{\left(f_{1}\right)}+f_{1}f_{3}\cdots f_{r}D{\left(f_{2}\right)}+\cdots +f_{1}\cdots f_{r-1}D{\left(f_{r}\right)}\,$

für ${}f_{1},\ldots ,f_{r}\in A$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra, ${}M$ ein ${}R$- Modul und ${}D\colon A\rightarrow M$ eine ${}R$- Derivation. Es sei ${}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{r}^{n_{r}}\in A$. Zeige

${}D{\left(x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{r}^{n_{r}}\right)}=n_{1}x_{1}^{n_{1}-1}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{r-1}^{n_{r-1}}x_{r}^{n_{r}}D{\left(x_{1}\right)}+\cdots +n_{r}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{r-1}^{n_{r-1}}x_{r}^{n_{r}-1}D{\left(x_{r}\right)}\,$

Aufgabe

Es sei ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}M$ ein ${}A$- Modul. Zeige, dass die Menge der Derivationen von ${}R$ nach ${}M$ ein ${}R$- Modul wird, wenn man ${}f\delta$ durch

${}(f\delta )(a)=f\delta (a)\,$

definiert.

Aufgabe

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra und ${}W\subseteq R$ ein multiplikatives System. Es sei ${}D\colon R\rightarrow R$ eine ${}K$- Derivation. Zeige, dass durch

${}D{\left({\frac {f}{g}}\right)}:={\frac {gD(f)-fD(g)}{g^{2}}}\,$

eine Derivation auf der Nenneraufnahme ${}R_{W}$ gegeben ist, die ${}D$ fortsetzt.

Aufgabe *

Es sei ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra über einem kommutativen Ring ${}R$. Zu ${}f\in A$ bezeichne

$\mu _{f}\colon A\longrightarrow A,\,x\longmapsto fx,$

die ${}R$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei ${}R$-linearen Abbildungen

$\varphi _{1},\varphi _{2}\colon A\longrightarrow A$

bezeichne

${}[\varphi _{1},\varphi _{2}]=\varphi _{1}\circ \varphi _{2}-\varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,.$

Es sei ${}\delta \colon A\rightarrow A$ eine ${}R$- Derivation. Zeige, dass zu jedem ${}g\in A$ die Abbildung ${}[\delta ,\mu _{g}]$ eine Multiplikationsabbildung ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}\Omega _{A{|}R}$ der Modul der Kähler-Differentiale. Zeige, dass die universelle Derivation

$A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,f\longmapsto df,$

eine Derivation ist.

Aufgabe

Bestimme ${}\Omega _{{\mathbb {C} }{|}\mathbb {R} }$.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige ${}\Omega _{L{|}K}=0$.

Aufgabe

Bestimme ${}\Omega _{\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]{|}\mathbb {Z} }$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X_{n}-f{\left(X_{1},\ldots ,X_{n-1}\right)}\right)}\,$

mit einem Polynom ${}f\in R[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]$ (die Nullstellenmenge ist also der Graph zu ${}f$). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass ${}\Omega _{A{|}R}$ ein freier ${}A$- Modul vom Rang ${}n-1$ ist.

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf das Tensorprodukt von Moduln und von Algebren, siehe auch den Anhang.

Aufgabe

Berechne ${}\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgabe

Berechne das Tensorprodukt

${\left(\mathbb {Z} ^{3}\oplus {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{2}\oplus \mathbb {Z} /(3)\right)}\otimes _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{2}\oplus \mathbb {Z} /(2)\oplus \mathbb {Z} /(4)\right)}.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die ${}R$- Modulisomorphie

${}R^{n}\otimes _{R}R^{m}\cong R^{nm}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ seien Ideale. Zeige die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}R/{\mathfrak {b}}=R/{\left({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S,T\subseteq R$ seien multiplikative Systeme. Zeige die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R_{S}\otimes _{R}R_{T}=R_{S\cdot T}\,.$

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R[M\times N]\cong R[M]\otimes _{R}R[N]\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}A$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq A$ ein multiplikatives System. Zeige

${}\Omega _{A_{S}{|}A}=0\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}S\subseteq A$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann

${}\Omega _{A_{S}{|}R}\cong {\left(\Omega _{A{|}R}\right)}_{S}\,$

gilt.

Aufgabe

Diskutiere Lemma 18.8 im Fall, dass ${}R=K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$, ${}A=K[X]$ und ${}I=(X^{p})$ ist.

Aufgabe

Beschreibe für ${}A={\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}$ den Modul der Kähler-Differentiale mit Erzeugern und Relationen.

Aufgabe

Bestimme ${}\Omega _{{\mathbb {C} }{|}\mathbb {R} }$ mit Hilfe von Korollar 18.9.

Aufgabe

Sei ${}p$ eine Primzahl. Wir betrachten die Körpererweiterung, die durch

${}K=\mathbb {Z} /(p)(U)\subseteq \mathbb {Z} /(p)(Y)=L\,$

mit ${}U\mapsto Y^{p}$ gegeben ist. Zeige, dass Lemma 18.14 in dieser Situation nicht gilt.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und

${}K=\mathbb {Z} /(p)(U)\subseteq R=K[Y]/{\left(Y^{p}-U\right)}\,.$

Zeige, dass ${}R\cong K(Y)$ ist, dass ${}R$ regulär ist und dass der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R{|}K}$ nicht frei ist.

Aufgabe

Sei ${}R=\mathbb {R} [X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right)}$. Zeige, dass der ${}R$- Modul der Kählerdifferentiale

${}\Omega _{R{|}\mathbb {R} }=RdX\oplus RdY\oplus RdZ/(XdX+YdY+ZdZ)\,$

eingeschränkt auf die offenen Mengen ${}D(X),\,D(Y),\,D(Z)$ (also ${}{\left(\Omega _{R{|}\mathbb {R} }\right)}_{X}=\Omega _{R_{X}{|}\mathbb {R} }$ etc.) frei ist und dass damit ${}\Omega _{R{|}\mathbb {R} }$ lokal frei ist.