Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 18

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra, $M$ ein $R$-Modul und $D:A\to M$ eine $R$-Derivation. Zeige

$D\left(f^n\right)=n{f}^{n-1}D(f)$

für jedes  $f\in A$. 

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra, $M$ ein $R$-Modul und $D:A\to M$ eine $R$-Derivation. Zeige

$D(f_1\cdots f_r)=f_2\cdots f_{r}D\left(f_1\right)+f_1{f}_3\cdots f_{r}D\left(f_2\right)+\cdots +f_1\cdots f_{r-1}D\left(f_r\right)$

für  $f_1,\dots ,f_r\in A$. 

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra, $M$ ein $R$-Modul und $D:A\to M$ eine $R$-Derivation. Es sei  $x_1^{n_1}\cdots x_r^{n_r}\in A$.  Zeige

$D(x_1^{n_1}\cdots x_r^{n_r})=n_1{x}_1^{n_1-1}{x}_2^{n_2}\cdots x_{r-1}^{n_{r-1}}{x}_r^{n_r}D\left(x_1\right)+\cdots +n_r{x}_1^{n_1}\cdots x_{r-1}^{n_{r-1}}{x}_r^{n_r-1}D\left(x_r\right)$

Aufgabe

Es sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $M$ ein $A$-Modul. Zeige, dass die Menge der Derivationen von $A$ nach $M$ ein $A$-Modul wird, wenn man $f\delta$ durch

$(f\delta )(a)=f\delta (a)$

definiert.

Aufgabe

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und  $W\subseteq R$  ein multiplikatives System. Es sei $D:R\to R$ eine $K$-Derivation. Zeige, dass durch

$D\left(\frac{f}{g}\right):=\frac{gD(f)-fD(g)}{g^2}$

eine Derivation auf der Nenneraufnahme $R_W$ gegeben ist, die $D$ fortsetzt.

Aufgabe *

Es sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra über einem kommutativen Ring $R$. Zu  $f\in A$  bezeichne

${\mu }_f:A⟶A,x⟼fx,$

die $R$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei $R$-linearen Abbildungen

${\phi }_1,{\phi }_2:A⟶A$

bezeichne

$[{\phi }_1,{\phi }_2]={\phi }_1\circ {\phi }_2-{\phi }_2\circ {\phi }_1.$

Es sei $\delta :A\to A$ eine $R$-Derivation. Zeige, dass zu jedem  $g\in A$  die Abbildung $[\delta ,{\mu }_g]$ eine Multiplikationsabbildung ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und ${\mathrm{\Omega }}_{A/R}$ der Modul der Kähler-Differentiale. Zeige, dass die universelle Derivation

$A⟶{\mathrm{\Omega }}_{A/R},f⟼df,$

eine Derivation ist.

Aufgabe

Bestimme ${\mathrm{\Omega }}_{ℂ/ℝ}$.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige  ${\mathrm{\Omega }}_{L/K}=0$. 

Aufgabe

Bestimme ${\mathrm{\Omega }}_{\mathbb{Z}[\mathrm{i}]/\mathbb{Z}}$.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und

$A=R[X_1,\dots ,X_n]/(X_n-f(X_1,\dots ,X_{n-1}))$

mit einem Polynom  $f\in R[X_1,\dots ,X_{n-1}]$  (die Nullstellenmenge ist also der Graph zu $f$). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass ${\mathrm{\Omega }}_{A/R}$ ein freier $A$-Modul vom Rang $n-1$ ist.

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf das Tensorprodukt von Moduln und von Algebren, siehe auch den Anhang.

Aufgabe

Berechne $\mathbb{Q}{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(5)$.

Aufgabe

Berechne das Tensorprodukt

$({\mathbb{Z}}^3\oplus {(\mathbb{Z}/(2))}^2\oplus \mathbb{Z}/(3)){\otimes }_{\mathbb{Z}}({\mathbb{Z}}^2\oplus \mathbb{Z}/(2)\oplus \mathbb{Z}/(4)).$

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige die $R$-Modulisomorphie

$R^n{\otimes }_R{R}^m\cong R^{nm}.$

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $𝔞,𝔟\subseteq R$  seien Ideale. Zeige die $R$-Algebraisomorphie

$R/𝔞{\otimes }_{R}R/𝔟=R/(𝔞+𝔟).$

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $S,T\subseteq R$  seien multiplikative Systeme. Zeige die $R$-Algebraisomorphie

$R_S{\otimes }_R{R}_T=R_{S\cdot T}.$

Aufgabe *

Es seien $M$ und $N$ kommutative Monoide und $R$ ein kommutativer Ring. Zeige die $R$-Algebraisomorphie

$R[M\times N]\cong R[M]{\otimes }_{R}R[N].$

Aufgabe *

Es sei $A$ ein kommutativer Ring und  $S\subseteq A$  ein multiplikatives System. Zeige

${\mathrm{\Omega }}_{A_S/A}=0.$

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und  $S\subseteq A$  ein multiplikatives System. Zeige, dass dann

${\mathrm{\Omega }}_{A_S/R}\cong {\left({\mathrm{\Omega }}_{A/R}\right)}_S$

gilt.

Aufgabe

Diskutiere Lemma 18.8 im Fall, dass  $R=K$  ein Körper der positiven Charakteristik $p$,  $A=K[X]$  und  $I=(X^p)$  ist.

Aufgabe

Beschreibe für  $A=ℂ[X,Y,Z]/(X^2+Y^3+Z^5)$  den Modul der Kähler-Differentiale mit Erzeugern und Relationen.

Aufgabe

Bestimme ${\mathrm{\Omega }}_{ℂ/ℝ}$ mithilfe von Korollar 18.9.

Aufgabe

Sei $p$ eine Primzahl. Wir betrachten die Körpererweiterung, die durch

$K=\mathbb{Z}/(p)(U)\subseteq \mathbb{Z}/(p)(Y)=L$

mit $U\mapsto Y^p$ gegeben ist. Zeige, dass Lemma 18.14 in dieser Situation nicht gilt.

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und

$K=\mathbb{Z}/(p)(U)\subseteq R=K[Y]/(Y^p-U).$

Zeige, dass  $R\cong K(Y)$  ist, dass $R$ regulär ist und dass der Modul der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{R/K}$ nicht frei ist.

Aufgabe

Sei  $R=ℝ[X,Y,Z]/(X^2+Y^2+Z^2-1)$.  Zeige, dass der $R$-Modul der Kählerdifferentiale

${\mathrm{\Omega }}_{R/ℝ}=RdX\oplus RdY\oplus RdZ/(XdX+YdY+ZdZ)$

eingeschränkt auf die offenen Mengen $D(X),D(Y),D(Z)$ (also ${\left({\mathrm{\Omega }}_{R/ℝ}\right)}_X={\mathrm{\Omega }}_{R_X/ℝ}$ etc.) frei ist und dass damit ${\mathrm{\Omega }}_{R/ℝ}$ lokal frei ist.