Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 6

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume. Eine stetige Abbildung

$p\colon Y\longrightarrow X$

heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und eine Familie diskreter topologischer Räume ${}F_{i}$, ${}i\in I$, derart gibt, dass ${}p^{-1}(U_{i})$ homöomorph zu ${}U_{i}\times F_{i}$ (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach ${}U_{i}$ verträglich sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto {\left(\cos t,\sin t\right)},$

eine Überlagerung ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto \exp z,$

eine Überlagerung ist.

Aufgabe

Zeige, dass es bei einer Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ zu jedem Punkt ${}x\in X$ eine offene Umgebung ${}x\in U\subseteq X$ und einen stetigen Schnitt ${}s\colon U\rightarrow p^{-1}(U)$ zu ${}p$ gibt.

Aufgabe

Es seien ${}F$ und ${}H$ kommutative topologische Gruppen und es sei ${}G=F\times H$ ihre Produktgruppe (versehen mit der Produkttopologie) und es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass zu jedem topologischen Raum ${}X$ eine kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vorliegt, für die die globale Auswertung hinten stets surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung, ${}Q\in Y$ ein Punkt und ${}{\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf ${}X$. Zeige, dass der Halm der vorgeschobenen Prägarbe ${}\varphi _{*}{\mathcal {F}}$ im Punkt ${}Q$ gleich

$\operatorname {colim} \,_{Q\in V}{\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V)\right)}=\operatorname {colim} \,_{\left\{U\subseteq X\mid {\text{ es gibt }}Q\in V{\text{ mit }}\varphi ^{-1}(V)\subseteq U\right\}}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ einer stetige Abbildung und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe auf ${}Y$. Zeige, dass der Halm der zurückgezogenen Garbe in einem Punkt ${}P\in X$ gleich dem Halm von ${}{\mathcal {G}}$ in ${}\varphi (P)$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine Menge mit zwei Topologien ${}\tau _{1}$ und ${}\tau _{2}$ derart, dass die Identität

$\varphi \colon X_{1}=(X,\tau _{1})\longrightarrow X_{2}=(X,\tau _{2})$

stetig ist, die erste Topologie ist also eine Verfeinerung der zweiten Topologie. Es sei ${}{\mathcal {F}}_{1}$ eine Garbe auf ${}X_{1}$ und ${}{\mathcal {F}}_{2}$ eine Garbe auf ${}X_{2}$. Bestimme ${}\varphi _{*}{\mathcal {F}}_{1}$ und ${}\varphi ^{-1}{\mathcal {F}}_{2}$. Wie sieht es aus, wenn ${}\tau _{1}$ die diskrete Topologie und ${}\tau _{2}$ die Klumpentopologie ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}\varphi \colon X\rightarrow \{P\}$ die konstante Abbildung. Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe auf ${}X$. Bestimme ${}\varphi _{*}{\mathcal {F}}$.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}P\in X$ ein Punkt mit der zugehörigen Abbildung ${}i\colon \{P\}\rightarrow X$. Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}\{P\}$. Beschreibe die Garbe ${}i_{*}{\mathcal {F}}$ auf den offenen Mengen von ${}X$. Wie sehen die Halme von ${}i_{*}{\mathcal {F}}$ aus, wenn ${}P$ ein abgeschlossener Punkt ist?

Vergleiche auch Aufgabe 4.9

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}\varphi \colon X\rightarrow \{P\}$ die konstante Abbildung. Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe auf ${}\{P\}$. Bestimme ${}\varphi ^{-1}{\mathcal {G}}$.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ und es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe auf ${}X$. Zeige, dass es einen natürlichen Garbenmorphismen

$\varphi ^{-1}(\varphi _{*}{\mathcal {F}})\longrightarrow {\mathcal {F}}$

auf ${}X$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ und es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe auf ${}Y$. Zeige, dass es einen natürlichen Garbenmorphismen

${\mathcal {G}}\longrightarrow \varphi _{*}(\varphi ^{-1}{\mathcal {G}})$

auf ${}Y$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$. Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe auf ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe auf ${}Y$. Zeige, dass es eine natürliche Bijektion zwischen den Garbenmorphismen

$\psi \colon \varphi ^{-1}{\mathcal {G}}\longrightarrow {\mathcal {F}}$

auf ${}X$ und den Garbenmorphismen

$\theta \colon {\mathcal {G}}\longrightarrow \varphi _{*}{\mathcal {F}}$

auf ${}Y$ gibt.

Aufgabe

Es seien ${}L_{1},L_{2},M$ Mengen und

$p_{1}\colon L_{1}\longrightarrow M$

und

$p_{2}\colon L_{2}\longrightarrow M$

Abbildungen. Wir definieren

${}L_{1}\times _{M}L_{2}:={\left\{(x_{1},x_{2})\mid p_{1}(x_{1})=p_{2}(x_{2})\right\}}\subseteq L_{1}\times L_{2}\,.$

1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

   ${\begin{matrix}L_{1}\times _{M}L_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L_{1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\L_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   gibt.

2. Es sei ${}T$ eine weitere Menge und ${}\psi _{1}\colon T\rightarrow L_{1}$ und ${}\psi _{2}\colon T\rightarrow L_{2}$ Abbildungen mit

   ${}p_{1}\circ \psi _{1}=p_{2}\circ \psi _{2}\,.$

   Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

   $\psi \colon T\longrightarrow L_{1}\times _{M}L_{2}$

   derart gibt, dass die Projektionen auf ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$ mit ${}\psi _{1},\psi _{2}$ übereinstimmen.

Aufgabe

Es seien ${}L_{1},L_{2},M$ topologische Räume und

$p_{1}\colon L_{1}\longrightarrow M$

und

$p_{2}\colon L_{2}\longrightarrow M$

stetige Abbildungen. Wir definieren

${}L_{1}\times _{M}L_{2}:={\left\{(x_{1},x_{2})\mid p_{1}(x_{1})=p_{2}(x_{2})\right\}}\subseteq L_{1}\times L_{2}\,$

mit der induzierten Topologie.

1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

   ${\begin{matrix}L_{1}\times _{M}L_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L_{1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\L_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   mit stetigen Abbildungen gibt.

2. Es sei ${}T$ ein weiterer topologischer Raum und ${}\psi _{1}\colon T\rightarrow L_{1}$ und ${}\psi _{2}\colon T\rightarrow L_{2}$ stetige Abbildungen mit

   ${}p_{1}\circ \psi _{1}=p_{2}\circ \psi _{2}\,.$

   Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung

   $\psi \colon T\longrightarrow L_{1}\times _{M}L_{2}$

   derart gibt, dass die Projektionen auf ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$ mit ${}\psi _{1},\psi _{2}$ übereinstimmen.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und ${}\varphi \colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung. Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ ein Vektorbündel über ${}X$. Zeige, dass ${}Y\times _{X}V$ (siehe Aufgabe 6.15) ein Vektorbündel über ${}Y$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}p\colon V\rightarrow X$ und ${}q\colon W\rightarrow X$ Vektorbündel über ${}X$. Zeige, dass ${}V\times _{X}W$ (siehe Aufgabe 6.15) ein Vektorbündel über ${}X$ ist, das mit der direkten Summe von Vektorbündeln über ${}X$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es seien ${}X,Y$ und ${}Z$ topologische Räume und seien ${}\varphi \colon Y\rightarrow X$ und ${}p\colon Z\rightarrow X$ stetige Abbildungen. Es sei

$p_{Y}\colon Y\times _{X}Z\longrightarrow Y.$

Zeige, dass ein stetiger Schnitt ${}s\colon Y\rightarrow Y\times _{X}Z$ das gleiche ist wie eine stetige Abbildung ${}t\colon Y\rightarrow Z$ mit ${}p\circ t=\varphi$.

Aufgabe

Es seien ${}X,Y$ und ${}Z$ topologische Räume und seien ${}\varphi \colon Y\rightarrow X$ und ${}p\colon Z\rightarrow X$ stetige Abbildungen. Es sei ${}p_{Y}\colon Y\times _{X}Z\rightarrow Y$. Es sei ${}{\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen Schnitte zu ${}p$ auf ${}X$. Zeige, dass der Rückzug ${}\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ mit der Garbe der Schnitte zu ${}p_{Y}$ übereinstimmt.