Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 6

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Es seien und topologische Räume. Eine stetige Abbildung

heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung und eine Familie diskreter topologischer Räume , , derart gibt, dass homöomorph zu (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach verträglich sind.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

eine Überlagerung ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

eine Überlagerung ist.


Aufgabe

Zeige, dass es bei einer Überlagerung zu jedem Punkt eine offene Umgebung und einen stetigen Schnitt zu gibt.


Aufgabe

Es seien und kommutative topologische Gruppen und es sei ihre Produktgruppe (versehen mit der Produkttopologie)

und es sei
die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass zu jedem

topologischen Raum eine kurze exakte Garbensequenz

vorliegt, für die die globale Auswertung hinten stets surjektiv ist.


Aufgabe

Es sei eine stetige Abbildung, ein Punkt und eine Prägarbe auf . Zeige, dass der Halm der vorgeschobenen Prägarbe im Punkt gleich

ist.


Aufgabe

Es sei einer stetige Abbildung und eine Garbe auf . Zeige, dass der Halm der zurückgezogenen Garbe in einem Punkt gleich dem Halm von in ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge mit zwei Topologien und derart, dass die Identität

stetig ist, die erste Topologie ist also eine Verfeinerung der zweiten Topologie. Es sei eine Garbe auf und eine Garbe auf . Bestimme und . Wie sieht es aus, wenn die diskrete Topologie und die Klumpentopologie ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und die konstante Abbildung. Es sei eine Garbe auf . Bestimme .


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und ein Punkt mit der zugehörigen Abbildung . Es sei eine Garbe von kommutativen Gruppen auf . Beschreibe die Garbe auf den offenen Mengen von . Wie sehen die Halme von aus, wenn ein abgeschlossener Punkt ist?

Solche Garben nennt man Wolkenkratzergarbe.

Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und die konstante Abbildung. Es sei eine Garbe auf . Bestimme .


Aufgabe

Es sei eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen und und es sei eine Garbe auf . Zeige, dass es einen natürlichen Garbenmorphismen

auf gibt.


Aufgabe

Es sei eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen und und es sei eine Garbe auf . Zeige, dass es einen natürlichen Garbenmorphismen

auf gibt.


Aufgabe

Es sei eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen und . Es sei eine Garbe auf und eine Garbe auf . Zeige, dass es eine natürliche Bijektion zwischen den Garbenmorphismen

auf und den Garbenmorphismen

auf gibt.


Aufgabe

Es seien Mengen und

und

Abbildungen. Wir definieren

  1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

    gibt.

  2. Es sei eine weitere Menge und und Abbildungen mit

    Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

    derart gibt, dass die Projektionen auf bzw. mit übereinstimmen.


Aufgabe

Es seien topologische Räume und

und

stetige Abbildungen. Wir definieren

mit der induzierten Topologie.

  1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

    mit stetigen Abbildungen gibt.

  2. Es sei eine weiterer topologischer Raum und und stetige Abbildungen mit

    Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung

    derart gibt, dass die Projektionen auf bzw. mit übereinstimmen.


Aufgabe

Es seien und topologische Räume und eine stetige Abbildung. Es sei ein Vektorbündel über . Zeige, dass (siehe Aufgabe 6.15) ein Vektorbündel über ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und seien und Vektorbündel über . Zeige, dass (siehe Aufgabe 6.15) ein Vektorbündel über ist, das mit der direkten Summe von Vektorbündeln übereinstimmt.


Aufgabe

Es seien und topologische Räume und seien und stetige Abbildungen. Es sei

Zeige, dass ein stetiger Schnitt das gleiche ist wie eine stetige Abbildung mit .


Aufgabe

Es seien und topologische Räume und seien und stetige Abbildungen. Es sei . Es sei die Garbe der stetigen Schnitte zu auf . Zeige, dass der Rückzug mit der Garbe der Schnitte zu übereinstimmt.



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