Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 5

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Vergarbung

Man kann einer Prägarbe in kanonischer Weise eine Garbe zuordnen, ihre Vergarbung.


Definition  

Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum nennt man die durch

und die natürlichen Restriktionsabbildungen gegebene Prägarbe die Vergarbung von .

Die in dieser Definition auftretende Bedingung, dass die Schnitte die gleichen Keime in den Halmen definieren, nennt man auch die Kompatibilitätsbedingung.



Lemma  

Es sei eine Prägarbe auf einem topologischen Raum und die Vergarbung zu . Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Es gibt einen natürlichen Prägarben-Morphismus

    der durch

    gegeben ist.

  2. Es ist

    für jeden Punkt .

  3. Die Vergarbung ist eine Garbe.
  4. Wenn eine Garbe ist, so ist die natürliche Morphismus ein Isomorphismus.
  5. Zu jedem Prägarben-Morphismus

    in eine Garbe gibt es eine eindeutige Faktorisierung

Beweis  

  1. Ein Element definiert ein Tupel , das direkt die Kompatibilitätsbedingung erfüllt. Somit gibt es eine wohldefinierte Abbildung

    Zu liegt das kommutative Diagramm

    vor. Die Kommutativität beruht darauf, dass die Keime zu einem Schnitt im Halm eines Punktes nur von den offenen Umgebungen des Punktes abhängen.

  2. Wegen (1) und Lemma 3.27 hat man eine natürliche Abbildung

    Zum Nachweis der Surjektivität sei gegeben, und sei repräsentiert durch . Dies wird in einer offenen Umgebung von durch ein Element

    repräsentiert. Dann ist der Keim direkt ein Urbild von .

    Zum Nachweis der Injektivität seien mit gegeben. Wir können annehmen, dass und als Schnitte von auf der gleichen offenen Menge gegeben sind. Die Gleichheit im Halm der Vergarbung besagt, dass es eine offene Menge mit

    gibt. Dann ist insbesondere .

  3. Es sei

    eine offene Überdeckung und seien Schnitte mit für alle . Dann gilt insbesondere

    für jeden Punkt , da ja jeder Punkt in einem der enthalten ist. Somit gilt insbesondere Gleichheit im Produkt der Halme und dies bedeutet die Gleichheit in der Vergarbung.

    Seien nun Schnitte

    mit gegeben. Dies bedeutet zunächst, dass es zu jedem Punkt einen eindeutigen Keim gibt, der durch eines der festgelegt ist. Das Tupel , erfüllt dann aber direkt die Kompatibilitätsbedingung.

  4. Nach (1) hat man einen Prägarben-Morphismus

    der nach (2) halmweise bijektiv ist. Nach Voraussetzung liegt links und nach (3) liegt rechts eine Garbe vor. Also ist nach Lemma 4.6 die Abbildung ein Isomorphismus.

  5. Siehe Aufgabe 5.2.



Homomorphismen von Garben von Gruppen

Definition  

Es sei ein topologischer Raum und seien und Garben von kommutativen Gruppen auf . Ein Garbenmorphismus heißt Homomorphismus von Garben kommutativer Gruppen, wenn für jede offene Teilmenge die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Beispiel  

Zu einem stetigen Gruppenhomomorphismus zwischen topologischen Gruppen und wird auf jedem topologischen Raum ein Homomorphismus von Garben von Gruppen festgelegt, indem auf jeder offenen Teilmenge die Zuordnung

betrachtet wird.



Definition  

Es sei ein topologischer Raum und es sei ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Dann nennt man die durch

definierte Untergarbe von die Kerngarbe zu .

Es handelt sich dabei genauer um eine Untergarbe von kommutativen Gruppen, d.h. für jede offene Teilmenge liegt eine Untergruppe von vor, siehe Aufgabe 5.6.


Definition  

Es sei ein topologischer Raum und es sei ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Dann nennt man die Vergarbung der durch

gegebenen Prägarbe die Bildgarbe zu .

Die Bildgarbe ist nach Lemma 5.2  (5) in natürlicher Weise eine Untergarbe von , und zwar eine Untergarbe von kommutativen Gruppen. Sie wird mit bezeichnet.


Beispiel  

Es sei ein topologischer Raum und

ein Homomorphismus zwischen trivialen Vektorbündeln. Dieser wird durch eine stetige Abbildung

beschrieben, d.h. jedem Punkt wird in stetiger Weise eine Matrix zugeordnet, die für diesen Punkt eine lineare Abbildung von nach beschreibt. Dies kann man unmittelbar als Homomorphismus von Garben von Gruppen auf auffassen, nämlich als

Diese Abbildung ist der Garbenmorphismus auf der Ebene der Schnitte in den Bündeln. In Beispiel 1.2 liegt zu die Abbildung

bzw.

vor.

Die Kerngarbe besteht über einfach aus




Die Quotientengarbe

Definition  

Zu einer Garbe von kommutativen Gruppen und einer Untergarbe von Gruppen nennt man die Vergarbung der Prägarbe die Quotientengarbe zu

Die Quotientengarbe wird mit bezeichnet. Da vergarbt wird, muss nicht unbedingt gelten. Es gilt aber für jeden Punkt , siehe Aufgabe 5.11.



Lemma  

Es sei eine Garbe von kommutativen Gruppen und einer Untergarbe von Gruppen mit der Quotientengarbe . Dann gelten die folgenden Aussagen.

  1. Jedes Element wird repräsentiert durch eine Familie , , wobei eine offene Überdeckung ist und Schnitte sind mit

    und jede solche Familie liegt ein Element in fest.

  2. Zwei solche Familien (also zur gleichen Überdeckung) definieren genau dann das gleiche Element in , wenn

    für alle ist.

  3. Zwei Familien und definieren genau dann das gleiche Element in , wenn auf einer (jeder) gemeinsamen Verfeinerung der beiden Überdeckungen die Differenzen zu gehören.

Beweis  

  1. Der Garbenhomomorphismus ist surjektiv und daher gibt es zu einem Schnitt lokal Urbilder in . D.h. es gibt eine offene Überdeckung und Elemente , die auf abbilden. Somit bildet

    auf ab und daher gehört diese Differenz zum Kern, also zu . Wenn umgekehrt eine solche Familie gegeben ist, so definiert dies über die Vergarbungsabbildung Restklassen

    Dabei ist

    und somit sind diese Klassen verträglich und definieren einen globalen Schnitt der Quotientengarbe.

  2. Seien die Familien und gegeben. Durch Übergang zu den Differenzen können wir annehmen, dass ist. Es ist dann zu zeigen, dass genau dann das Nullelement in der Quotientengarbe definiert, wenn alle zu gehören. Wenn die überall das Nullelement definieren, so gilt dies auch in den Halmen und somit gilt, dass in jedem Punkt gilt. Damit ist . Die Rückrichtung ist klar.
  3. Die Gleichheit von Schnitten einer Garbe kann man lokal auf einer beliebigen offenen Überdeckung testen. Daher folgt dies aus (2) und daraus, dass man die Zugehörigkeit zu einer Untergarbe ebenfalls lokal testen kann.



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