Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 20

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der $1$-Differentialform

$\omega =(x^2-y^3)dx+x^3{y}^{2}dy$

auf dem ${ℝ}^2$.

Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der $1$-Differentialform

$\omega =x{y}^{2}dx+yzdy+x^{3}dz$

auf dem ${ℝ}^3$.

Aufgabe *

Berechne die äußere Ableitung $d\omega$ der $1$-Differentialform

$\omega =\frac{x^2}{y}dx-\frac{x}{y^2}dy$

auf  $U=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid y\ne 0\}$. 

Aufgabe *

Berechne die äußere Ableitung $d\omega$ der Differentialform

$\omega =e^{xz}dx\wedge dy-xyzdx\wedge dz+(\sin (\cos (xy))+y^{10}{z}^{100})dy\wedge dz$

auf dem ${ℝ}^3$.

Aufgabe *

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ,t⟼f(t),$

die durch

$f(t)=\frac{{\sin }^3(t^4)}{1+t^2}$

gegeben ist.

a) Berechne die äußere Ableitung von $f$.

b) Berechne die äußere Ableitung von $fdt$.

Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der $2$-Differentialform

$\omega =xdx\wedge dy+x{y}^{2}zdy\wedge dz+x{e}^{y}dx\wedge dz$

auf dem ${ℝ}^3$.

Aufgabe *

Zeige, dass die $1$-Differentialform  $\omega =(2x-\sin y)dx-x\cos ydy$  auf dem ${ℝ}^2$ geschlossen und auch exakt ist.

Aufgabe

Es sei  $U\subseteq {ℝ}^n$  eine offene Teilmenge und  $\omega =\sum _{i=1}^n{f}_{i}d{x}_i$  eine $1$-Differentialform, die mit stetig differenzierbaren Funktionen $f_i:U\to ℝ$ beschrieben werde. Zeige, dass $\omega$ genau dann geschlossen ist, wenn

${\partial }_i{f}_j={\partial }_j{f}_i$

für alle $i,j$ gilt.

Aufgabe

Es sei  $U\subseteq {ℝ}^n$  eine offene Teilmenge und $\omega$ eine stetig differenzierbare $1$-Form auf $U$ mit dem gemäß Lemma 16.3 zugehörigen Vektorfeld $F$ auf $U$. Zeige, dass $\omega$ genau dann geschlossen ist, wenn $F$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt.

Aufgabe

Es sei $U\subseteq {ℝ}^n$ eine offene Teilmenge und $\omega$ eine stetig differenzierbare $1$-Form auf $U$ mit dem gemäß Lemma 16.3 zugehörigen Vektorfeld $F$ auf $U$. Zeige, dass $\omega$ genau dann exakt ist, wenn $F$ ein Gradientenfeld ist.

Aufgabe

Es sei $\omega$ eine differenzierbare Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit $M$ und $\phi :L\to M$ eine auf der Mannigfaltigkeit $L$ definierte differenzierbare Abbildung.

1. Es sei $\omega$ exakt. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform ${\phi }^{\ast }\omega$ exakt ist.
2. Es sei $\omega$ geschlossen. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform ${\phi }^{\ast }\omega$ geschlossen ist.

Für die folgenden Aufgaben vergleiche Beispiel 58.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Beispiel 58.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Aufgabe

Zeige, dass die $1$-Differentialform

$-ydx+xdy$

auf dem ${ℝ}^2$ nicht geschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die $1$-Differentialform

$-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$

auf dem ${ℝ}^2\setminus \{0\}$ geschlossen, aber nicht exakt ist.

Aufgabe *

Zeige, dass jede stetige $n$-Differentialform $\omega$ auf einer offenen Menge  $U\subseteq {ℝ}^n$  exakt ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine differenzierbare $1$-Form auf $M$. Zeige, dass $\omega$ genau dann exakt ist, wenn für jeden stetig differenzierbaren Weg

$\gamma :[a,b]⟶M$

das Wegintegral ${\int }_{\gamma }\omega$ nur von $\gamma (a)$ und $\gamma (b)$ abhängt.

Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\phi :M⟶N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei $\omega$ eine differenzierbare $n$-Form auf $N$, wobei $n$ die Dimension von $N$ sei. Zeige, dass ${\phi }^{\ast }\omega$ eine geschlossene Differentialform auf $M$ ist.

Aufgabe

Welche der folgenden Funktionen

${ℝ}_{+}⟶ℝ$

lassen sich differenzierbar in den Randpunkt $0$ fortsetzen?

1. $x^3+{\sin }^{3}x-e^{-x}$,
2. $\frac{1}{x}$,
3. $\sin \frac{1}{x}$,
4. $x\sin \frac{1}{x}$,
5. $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$,
6. $x^2\sin \frac{1}{x}$.

Aufgabe

Es sei $H\subset {ℝ}^n$ ein Halbraum. Es sei $Q\in H$ ein Punkt und $Q\in U\subseteq H$, wobei $U$ eine offene Teilmenge des ${ℝ}^n$ sei. Zeige, dass $Q$ kein Randpunkt von $H$ ist.

Aufgabe

Definiere die Begriffe Diffeomorphismus, totales Differential und höhere Ableitungen für Halbräume (bzw. offene Teilmengen davon).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die äußere Ableitung der $1$-Differentialform

$\omega =x{y}^2{z}^{3}dx+xyzdy+x^{3}y{z}^{4}dz$

auf dem ${ℝ}^3$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die äußere Ableitung der $2$-Differentialform

$\omega =x{y}^{2}dx\wedge dy+(x^3-y^2{z}^4)dy\wedge dz+\sin (xy)dx\wedge dz$

auf dem ${ℝ}^3$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei  $U\subseteq {ℝ}^n$  offen und es seien ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_r$ Differentialformen auf $U$, wobei ${\omega }_i$ eine $k_i$-Differentialform sei. Finde und beweise eine Formel für

$d({\omega }_1\wedge \dots \wedge {\omega }_r).$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Differentialform

$\omega =(2xy+3x^2-y{e}^{xy})dx+(x^2-x{e}^{xy}+8y)dy$

auf dem ${ℝ}^2$ geschlossen und auch exakt ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Halbebene ${ℝ}_{\ge 0}\times ℝ$ und der Quadrant ${ℝ}_{\ge 0}\times {ℝ}_{\ge 0}$ homöomorph sind.