Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 20

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der ${}1$- Differentialform

${}\omega =(x^{2}-y^{3})dx+x^{3}y^{2}dy\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der ${}1$- Differentialform

${}\omega =xy^{2}dx+yzdy+x^{3}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe *

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der ${}1$- Differentialform

${}\omega ={\frac {x^{2}}{y}}dx-{\frac {x}{y^{2}}}dy\,$

auf ${}U={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y\neq 0\right\}}$.

Aufgabe *

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der Differentialform

$\omega =e^{xz}dx\wedge dy-xyzdx\wedge dz+(\sin(\cos(xy))+y^{10}z^{100})dy\wedge dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

die durch

${}f(t)={\frac {\sin ^{3}(t^{4})}{1+t^{2}}}\,$

gegeben ist.

a) Berechne die äußere Ableitung von ${}f$.

b) Berechne die äußere Ableitung von ${}fdt$.

Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der ${}2$- Differentialform

$\omega =xdx\wedge dy+xy^{2}zdy\wedge dz+xe^{y}dx\wedge dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe *

Zeige, dass die ${}1$- Differentialform ${}\omega =(2x-\sin y)dx-x\cos ydy$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ geschlossen und auch exakt ist.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und ${}\omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}dx_{i}$ eine ${}1$- Differentialform, die mit stetig differenzierbaren Funktionen ${}f_{i}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ beschrieben werde. Zeige, dass ${}\omega$ genau dann geschlossen ist, wenn

${}\partial _{i}f_{j}=\partial _{j}f_{i}\,$

für alle ${}i,j$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}1$- Form auf ${}U$ mit dem gemäß Lemma 16.3 zugehörigen Vektorfeld ${}F$ auf ${}U$. Zeige, dass ${}\omega$ genau dann geschlossen ist, wenn ${}F$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}1$- Form auf ${}U$ mit dem gemäß Lemma 16.3 zugehörigen Vektorfeld ${}F$ auf ${}U$. Zeige, dass ${}\omega$ genau dann exakt ist, wenn ${}F$ ein Gradientenfeld ist.

Aufgabe

Es sei ${}\omega$ eine differenzierbare Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit ${}M$ und ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ eine auf der Mannigfaltigkeit ${}L$ definierte differenzierbare Abbildung.

1. Es sei ${}\omega$ exakt. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ exakt ist.
2. Es sei ${}\omega$ geschlossen. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ geschlossen ist.

Für die folgenden Aufgaben vergleiche Beispiel 58.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Beispiel 58.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Aufgabe

Zeige, dass die ${}1$- Differentialform

$-ydx+xdy$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ nicht geschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die ${}1$- Differentialform

$-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ geschlossen, aber nicht exakt ist.

Aufgabe *

Zeige, dass jede stetige ${}n$- Differentialform ${}\omega$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ exakt ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine differenzierbare ${}1$- Form auf ${}M$. Zeige, dass ${}\omega$ genau dann exakt ist, wenn für jeden stetig differenzierbaren Weg

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$

das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ nur von ${}\gamma (a)$ und ${}\gamma (b)$ abhängt.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}\omega$ eine differenzierbare ${}n$- Form auf ${}N$, wobei ${}n$ die Dimension von ${}N$ sei. Zeige, dass ${}\varphi ^{*}\omega$ eine geschlossene Differentialform auf ${}M$ ist.

Aufgabe

Welche der folgenden Funktionen

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R}$

lassen sich differenzierbar in den Randpunkt ${}0$ fortsetzen.

1. ${}x^{3}+\sin ^{3}x-e^{-x}$,
2. ${}{\frac {1}{x}}$,
3. ${}\sin {\frac {1}{x}}$,
4. ${}x\sin {\frac {1}{x}}$,
5. ${}{\frac {e^{\frac {1}{x}}}{x}}$,
6. ${}x^{2}\sin {\frac {1}{x}}$.

Aufgabe

Es sei ${}H\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Halbraum. Es sei ${}Q\in H$ ein Punkt und ${}Q\in U\subseteq H$, wobei ${}U$ eine offene Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei. Zeige, dass ${}Q$ kein Randpunkt von ${}H$ ist.

Aufgabe

Definiere die Begriffe Diffeomorphismus, totales Differential und höhere Ableitungen für Halbräume (bzw. offene Teilmengen davon).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die äußere Ableitung der ${}1$- Differentialform

$\omega =xy^{2}z^{3}dx+xyzdy+x^{3}yz^{4}dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die äußere Ableitung der ${}2$- Differentialform

$\omega =xy^{2}dx\wedge dy+(x^{3}-y^{2}z^{4})dy\wedge dz+\sin(xy)dx\wedge dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es seien ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{r}$ Differentialformen auf ${}U$, wobei ${}\omega _{i}$ eine ${}k_{i}$- Differentialform sei. Finde und beweise eine Formel für

$d(\omega _{1}\wedge \ldots \wedge \omega _{r}).$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Differentialform

${}\omega ={\left(2xy+3x^{2}-ye^{xy}\right)}dx+{\left(x^{2}-xe^{xy}+8y\right)}dy\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ geschlossen und auch exakt ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Halbebene ${}\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R}$ und der Quadrant ${}\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}$ homöomorph sind.