Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 19

Die Weingartenabbildung für parametrisierte Mannigfaltigkeiten

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}f\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}f$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ offen eine diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Menge ${}U\subseteq Y$, man kann also ${}\varphi ^{-1}$ als eine Karte für ${}Y$ auffassen. Dabei ist für ${}Q\in V$ mit ${}\varphi (Q)=P$

${}T_{P}Y=\operatorname {bild} \left(D\varphi \right)_{Q}\,,$

es liegt also ein linearer Isomorphismus

$\left(D\varphi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n-1}\longrightarrow T_{P}Y$

vor, der den Tangentialraum ${}T_{P}Y$ beschreibt. Die Standardbasisvektoren ${}e_{i}$ werden auf ${}\partial _{i}\varphi (Q)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{n}}{\partial u_{i}}}(Q)\end{pmatrix}}$ abgebildet und bilden eine Basis des Tangentialraumes. Wenn man ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit der von der euklidischen Struktur des ${}\mathbb {R} ^{n}$ induzierten riemannschen Struktur versieht, so erhält man die Funktionen

${}g_{ij}(Q)=\left\langle \partial _{i}\varphi (Q),\partial _{j}\varphi (Q)\right\rangle \,,$

die man zur ersten Fundamentalmatrix (metrischen Fundamentalmatrix)

${}G={\left(g_{ij}\right)}\,$

zusammenfasst. Die erste Fundamentalmatrix ist durch die riemannsche Struktur von ${}Y$ vollständig bestimmt.

Die Weingartenabbildung

$L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y$

kann man bezüglich der Basis ${}\partial _{i}\varphi (Q)$ beschreiben. Dies geschieht am besten, wenn man die sogenannte zweite Fundamentalmatrix einführt. Dazu sei ${}Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld ${}N$ orientiert, was unter Rückgriff auf die beschreibende Funktion ${}f$ möglich ist. Das Einheitsnormalenfeld eingeschränkt auf ${}U$ kann man unmittelbar auf ${}V$ auffassen. Wegen der vorausgesetzten zweifachen stetigen Differenzierbarkeit von ${}f$ und der von ${}\varphi$ ist das Einheitsnormalenfeld auf ${}V$ differenzierbar. Wir definieren.

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}f\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}f$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge ${}U\subseteq Y$ mit den Parametern ${}u_{1},\ldots ,u_{n-1}$. Es sei ${}Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld ${}N$ orientiert, wobei wir ${}N$ als Feld auf ${}V$ auffassen. Dann setzt man

${}h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\partial _{j}\varphi ,N\right\rangle \,.$

Die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$ ist die (von ${}Q\in V$) abhängige Matrix

${}H={\left(h_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n-1}\,.$

In dieser Definition wird auf das Einheitsnormalenfeld und über das Skalarprodukt auf die riemannsche Struktur von ${}Y$ Bezug genommen. Die zweite Fundamentalmatrix ist nach dem Satz von Schwarz symmetrisch.

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}f\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}f$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge ${}U\subseteq Y$ mit den Parametern ${}u_{1},\ldots ,u_{n-1}$. Es sei ${}Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld ${}N$ orientiert, wobei wir ${}N$ als Feld auf ${}V$ auffassen.

Dann gilt

${}h_{ij}=-\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}N\right\rangle =\left\langle \partial _{i}\varphi ,L_{}(\partial _{j}\varphi )\right\rangle \,.$

Beweis

Da das Einheitsnormalenfeld senkrecht auf den Tangentialräumen an ${}Y$ steht, gilt

${}\left\langle \partial _{i}\varphi ,N\right\rangle =0\,.$

Daraus folgt

${}0=\left\langle \partial _{j}\partial _{i}\varphi ,N\right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}N\right\rangle \,,$

was die erste Gleichung ergibt. Die zweite folgt direkt aus der Definition der Weingartenabbildung.

$\Box$

Wir beschränken uns nun auf den Fall ${}n=3$. Es liegt die erste Fundamentalmatrix

${}{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}\,$

mit

${}g_{ij}=\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle \,$

vor, wobei wir im jetzigen Kontext die erste Bezeichnung vorziehen, und die zweite Fundamentalmatrix

${\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{pmatrix}}$

vor. Für die in der folgenden Aussage aufgeführten Voraussetzungen sagt man auch kurz, dass eine orientierte Fläche oder eine stückweise parametrisierte orientierte Fläche im ${}\mathbb {R} ^{3}$ vorliegt.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}f$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge ${}U\subseteq Y$ mit den Parametern ${}u_{1},u_{2}$. Es sei ${}Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld ${}N$ orientiert, wobei wir ${}N$ als Feld auf ${}V$ auffassen. Es sei ${}G$ die erste und ${}H$ die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$. Zu ${}P=\varphi (Q)$ sei ${}W$ die Matrix, die die Weingartenabbildung

$T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y$

bezüglich der Basis ${}\partial _{1}\varphi (Q)$ und ${}\partial _{2}\varphi (Q)$ von ${}T_{P}Y$ beschreibt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist

   ${}H=G\cdot W\,.$

2. Es ist

   ${}W=G^{-1}H\,.$

3. Es ist

   $\partial _{1}N=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{11}-g_{12}h_{12}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{11}+g_{11}h_{12}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\,$

   und

   $\partial _{2}N=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{12}-g_{12}h_{22}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{12}+g_{11}h_{22}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\,$

4. Für die Gaußkrümmung von ${}Y$ gilt

   ${}K={\frac {\det H}{\det G}}\,.$

Beweis

1. Es ist nach Definition von ${}W$

   ${}L_{P}(\partial _{1}\varphi )=w_{11}\partial _{1}\varphi +w_{21}\partial _{2}\varphi \,$

   und

   ${}L_{P}(\partial _{2}\varphi )=w_{12}\partial _{1}\varphi +w_{22}\partial _{2}\varphi \,.$

   Daher ist nach Lemma 19.2

   ${}h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\varphi ,L_{P}(\partial _{j}\varphi )\right\rangle =\left\langle \partial _{i}\varphi ,w_{1j}\partial _{1}\varphi +w_{2j}\partial _{2}\varphi \right\rangle =w_{1j}g_{i1}+w_{2j}g_{i2}\,.$

2. Das folgt unmittelbar aus (1) durch Multiplikation mit ${}G^{-1}$ von links.
3. Es ist

   ${}\partial _{i}N=-L(\partial _{i}\varphi )=-w_{1i}\partial _{1}\varphi -w_{2i}\partial _{2}\varphi \,$

   und somit folgt die Aussage aus (2) unter Berücksichtigung von

   ${}G^{-1}={\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{12}&g_{11}\end{pmatrix}}\,.$

   Damit ist

   ${}W={\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{12}&g_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{12}&h_{22}\end{pmatrix}}\,$

   und somit

   ${}{\begin{aligned}\partial _{1}N&=-w_{11}\partial _{1}\varphi -w_{21}\partial _{2}\varphi \\&=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{11}-g_{12}h_{12}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{11}+g_{11}h_{12}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\end{aligned}}$

   und

   ${}{\begin{aligned}\partial _{2}N&=-w_{12}\partial _{1}\varphi -w_{22}\partial _{2}\varphi \\&=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{12}-g_{12}h_{22}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{12}+g_{11}h_{22}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\end{aligned}}$

4. Die Gaußkrümmung ist die Determinante der Weingartenabbildung, daher folgt die Aussage aus (2) mit dem Determinantenmultiplikationssatz.

$\Box$

Die Gaußkrümmung als intrinsisches Konzept

Beispiel 18.5 zeigt, dass es Isometrien zwischen riemannschen Flächen (etwa zwischen einem ebenen Flächenstück und einem Zylindermantel) gibt, unter den die Weingartenabbildung und die Hauptkrümmungen nicht erhalten bleiben. In der Ebene ist die Weingartenabbildung die Nullabbildung, auf dem Zylinder besitzt sie die Eigenwerte ${}0$ und ${}{\frac {1}{r}}$, wenn ${}r$ den Radius bezeichnet. Allerdings ist das Produkt der Eigenwerte, also die Determinante der Weingartenabbildung, die ja wiederum die Gaußsche Krümmung ist, für beide Flächen gleich ${}0$. Wir werden in der Tat zeigen, dass die Gaußsche Krümmung einer Fläche im ${}\mathbb {R} ^{3}$ allein durch die riemannsche Struktur bestimmt ist.

Definition

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine zweifach stetig differenzierbare orientierte Fläche und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, eine zweifach stetig differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}N$ das Einheitsnormalenfeld aufgefasst auf ${}V$. Es sei ${}H={\left(h_{ij}\right)}$ die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$. Dann nennt man die punktweise über die linearen Gleichungssysteme

${}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial ^{2}u}}=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{11}N\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{12}N\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}=\Gamma _{21}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{21}N\,,$

${}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial ^{2}v}}=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{22}N\,,$

definierten Funktionen

$\Gamma _{ij}^{k}\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

die Christoffelsymbole zu ${}\varphi$.

Man beachte, dass ${}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}(Q),{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}(Q),N(Q)$ in jedem Punkt ${}Q\in V$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ bilden und dass daher überhaupt jeder Vektor mit eindeutigen Koeffizienten als Linearkombination bezüglich dieser Basis geschrieben werden kann. Allerdings variiert die Basis mit ${}Q$ und entsprechend sind die Christoffelsymbole Funktionen. Da ${}N$ normiert ist und senkrecht auf den beiden anderen Basisvektoren steht, ergibt sich der Koeffizient, der sich auf ${}N$ bezieht, als Skalarprodukt ${}\left\langle \partial _{i}\partial _{j}\varphi ,N\right\rangle =h_{ij}$.

Lemma

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine zweifach stetig differenzierbare orientierte Fläche und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}{\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf ${}V$ und sei ${}{\left(g^{kl}\right)}$ die inverse Matrix zu ${}g_{ij}$.

Dann gilt für die Christoffelsymbole

$\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{1k}{\left(\partial _{i}g_{j1}+\partial _{j}g_{1i}-\partial _{1}g_{ij}\right)}+{\frac {1}{2}}g^{2k}{\left(\partial _{i}g_{j2}+\partial _{j}g_{2i}-\partial _{2}g_{ij}\right)}\,.$

Insbesondere kann man die Christoffelsymbole durch die Daten der ersten Fundamentalmatrix ausdrücken.

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}\partial _{k}g_{ij}&=\partial _{k}\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle \\&=\left\langle \partial _{k}\partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{k}\partial _{j}\varphi \right\rangle \\&=\left\langle \Gamma _{ki}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{ki}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{ki}N,\partial _{j}\varphi \right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\Gamma _{kj}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{kj}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{kj}N\right\rangle \\&=\left\langle \Gamma _{ki}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{ki}^{2}\partial _{2}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\Gamma _{kj}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{kj}^{2}\partial _{2}\varphi \right\rangle \\&=\Gamma _{ki}^{1}g_{1j}+\Gamma _{ki}^{2}g_{2j}+\Gamma _{kj}^{1}g_{i1}+\Gamma _{kj}^{2}g_{i2}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\\&=\Gamma _{ij}^{1}g_{1k}+\Gamma _{ij}^{2}g_{2k}+\Gamma _{ik}^{1}g_{j1}+\Gamma _{ik}^{2}g_{j2}+\Gamma _{jk}^{1}g_{1i}+\Gamma _{jk}^{2}g_{2i}+\Gamma _{ji}^{1}g_{k1}+\Gamma _{ji}^{2}g_{k2}-{\left(\Gamma _{ki}^{1}g_{1j}+\Gamma _{ki}^{2}g_{2j}+\Gamma _{kj}^{1}g_{i1}+\Gamma _{kj}^{2}g_{i2}\right)}\\&=2{\left(\Gamma _{ij}^{1}g_{1k}+\Gamma _{ij}^{2}g_{2k}\right)}.\,\end{aligned}}$

Es liegt also die Matrixbeziehung

${}{\begin{pmatrix}\partial _{i}g_{j1}+\partial _{j}g_{1i}-\partial _{1}g_{ij}\\\partial _{i}g_{j2}+\partial _{j}g_{2i}-\partial _{2}g_{ij}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{ij}^{1}\\\Gamma _{ij}^{2}\end{pmatrix}}\,$

vor, woraus durch Multiplikation mit ${}{\frac {1}{2}}G^{-1}$ die Behauptung folgt.

$\Box$

Bemerkung  

In der Situation von Lemma 19.5 gelten die Beziehungen

${}{\begin{pmatrix}\partial _{1}g_{11}\\2\partial _{1}g_{12}-\partial _{2}g_{11}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{11}^{1}\\\Gamma _{11}^{2}\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}2\partial _{1}g_{12}-\partial _{2}g_{11}\\\partial _{2}g_{22}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{22}^{1}\\\Gamma _{22}^{2}\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}\partial _{2}g_{11}\\\partial _{1}g_{22}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{12}^{1}\\\Gamma _{12}^{2}\end{pmatrix}}\,.$

Satz

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}{\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf ${}V$.

Dann gilt für die Gaußsche Krümmung unter Verwendung der Christoffelsymbole die Beziehung

$K={\frac {1}{g_{11}}}{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}\,.$

Beweis

Wir differenzieren die erste Bestimmungsgleichung für die Christoffelsymbole, also

${}\partial _{1}\partial _{1}\varphi =\Gamma _{11}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{11}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{11}N\,,$

in Richtung der zweiten Variablen und die zweite Bestimmungsgleichung, also

${}\partial _{1}\partial _{2}\varphi =\Gamma _{12}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{12}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{12}N\,,$

in Richtung der ersten Variablen und erhalten nach Schwarz

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{1}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}\right)}\partial _{2}\varphi +{\left(\partial _{2}h_{11}\right)}N+\Gamma _{11}^{1}\partial _{2}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{11}^{2}\partial _{2}\partial _{2}\varphi +h_{11}\partial _{2}N\\&={\left(\partial _{1}\Gamma _{12}^{1}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}\right)}\partial _{2}\varphi +{\left(\partial _{1}h_{12}\right)}N+\Gamma _{12}^{1}\partial _{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{12}^{2}\partial _{1}\partial _{2}\varphi +h_{12}\partial _{1}N.\,\end{aligned}}$

Die Differenz dieser Ausdrücke ist ${}0$, und wir bestimmen, was sich dabei auf den Basisvektor ${}\partial _{2}\varphi$ bezieht. Dazu müssen wir die Bestimmungsgleichungen für die Christoffelsymbole und Lemma 19.3  (3) heranziehen und erhalten

$0=\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}+h_{11}{\frac {g_{12}h_{12}-g_{11}h_{22}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}-h_{12}{\frac {g_{12}h_{11}-g_{11}h_{12}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\,.$

Mit

$-g_{11}{\left(h_{11}h_{22}-h_{12}^{2}\right)}=h_{11}{\left(g_{12}h_{12}-g_{11}h_{22}\right)}-h_{12}{\left(g_{12}h_{11}-g_{11}h_{12}\right)}\,$

können wir die beiden hinteren Summanden ersetzen und erhalten mit Lemma 19.3  (4)

${}{\begin{aligned}g_{11}K&=g_{11}{\frac {h_{11}h_{22}-h_{12}^{2}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\\&={\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}.\end{aligned}}$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}{\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf ${}V$.

Dann gilt für die Gaußsche Krümmung

${}K={\frac {1}{{\left(g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}\right)}^{2}}}{\left(\det {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\partial _{2}^{2}g_{11}+\partial _{1}\partial _{2}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{1}^{2}g_{22}&{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{11}&\partial _{1}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}\\\partial _{2}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}&g_{11}&g_{12}\\{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{22}&g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}-\det {\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}&{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}\\{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}&g_{11}&g_{12}\\{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}&g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 19.9.

$\Box$

Die beiden vorstehenden Aussagen sind Varianten des Theorema egregiums, der Inhalt bedeutet unabhängig von den genauen Formeln, dass man die Gaußkrümmung auf einer eingebettenen Fläche allein durch Messungen auf der Fläche, also ohne Bezug auf den umgebenden Raum, beschreiben kann. Die Messungen auf der Fläche sind dabei durch die metrische Fundamentalmatrix kodiert, man muss also das Skalarprodukt auf den Tangentialräumen der Fläche kennen, was eben bedeutet, die Fläche als eine riemannsche Mannigfaltigkeit aufzufassen. Die Hauptkrümmungen lassen sich nicht allein intrinsisch bestimmen, siehe Beispiel 18.5 und Aufgabe 19.12.

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