Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 12

Übungsaufgaben

Aufgabe

Wir betrachten die Untergruppe ${}U=\mathbb {Z} 4\subseteq \mathbb {Z}$ und die zugehörige Äquivalenzrelation.

a) Skizziere die Punkte (eine sinnvolle Auswahl) aus ${}U$ (als Punkte in ${}\mathbb {Z}$) mit einer Farbe.

b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen).

c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.

d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?

Aufgabe

Wir betrachten in der Gruppe ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}$ die Untergruppe

${}U=\langle {\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\rangle ={\left\{a{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

und die zugehörige Äquivalenzrelation.

a) Skizziere die Punkte (eine sinnvolle Auswahl) aus ${}U$ (als Punkte in ${}\mathbb {Z} ^{2}$) mit einer Farbe.

b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen).

c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.

d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?

Aufgabe

Bestimme für jedes Element der Restklassengruppe ${}\mathbb {Z} ^{2}/U$ aus Aufgabe 12.2 die Ordnung.

Aufgabe

Bestimme die Restklassengruppe zu ${}\{1,-1\}\subset \mathbb {R} ^{\times }$.

Aufgabe

Finde in der Permutationsgruppe ${}S_{3}$ einen Normalteiler ${}N\neq 0,S_{3}$ und bestimme die zugehörige Restklassengruppe.

Aufgabe

Bringe die Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ mit der in Aufgabe 1.17 direkt eingeführten Gruppe in Verbindung.

Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ Elemente gibt, deren Ordnung gleich ${}n$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass es keine Untergruppe ${}F\subseteq (\mathbb {Q} ,0,+)$ derart gibt, dass

$F\longrightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z}$

ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit dem (nach Lemma 10.7) zugehörigen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n}.$

Beschreibe die kanonische Faktorisierung von ${}\varphi$ gemäß Satz 12.8.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von ${}g$ mit dem minimalen ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

gibt, in dessen Bild das Element ${}g$ liegt.

Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass zyklische Gruppen mit der gleichen Ordnung isomorph sind.

Aufgabe

Zeige, dass für jede reelle Zahl ${}a\neq 0$ die Restklassengruppen ${}\mathbb {R} /\mathbb {Z} a$ untereinander isomorph sind.

Aufgabe

Es seien ${}G,H$ und ${}F$ Gruppen und seien ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ und ${}\psi \colon G\rightarrow F$ Gruppenhomomorphismen mit ${}\psi$ surjektiv und mit ${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Bestimme den Kern des induzierten Homomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon F\longrightarrow H.$

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Definiere einen Gruppenhomomorphismus

$(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0),$

der ${}p\mapsto 1$ und alle anderen Primzahlen auf ${}0$ schickt.

Bestimme auch den Kern dieses Gruppenhomomorphismus.

Aufgabe

Es seien ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ Gruppen und seien ${}N_{1}\subseteq G_{1}$ und ${}N_{2}\subseteq G_{2}$ Normalteiler. Zeige, dass ${}N_{1}\times N_{2}$ ein Normalteiler in ${}G_{1}\times G_{2}$ ist und dass eine Isomorphie

${}(G_{1}\times G_{2})/(N_{1}\times N_{2})\cong (G_{1}/N_{1})\times (G_{2}/N_{2})\,$

vorliegt.

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$ heißt dicht, wenn es zu jeder reellen Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ und jedem ${}\epsilon >0$ Elemente ${}t\in T$ mit

${}\vert {t-x}\vert <\epsilon \,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}H$ eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass entweder ${}H={\mathbb {Z} }a$ mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ${}a$ ist, oder aber ${}H$ dicht in ${}\mathbb {R}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten in der Gruppe ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}$ die Untergruppe

${}U=\langle {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\rangle ={\left\{a{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

und die zugehörige Äquivalenzrelation.

a) Skizziere die Punkte (eine sinnvolle Auswahl) aus ${}U$ (als Punkte in ${}\mathbb {Z} ^{2}$) mit einer Farbe.

b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen).

c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.

d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen mit der Produktgruppe ${}G\times H$. Zeige, dass die Gruppe ${}G\times \{e_{H}\}$ ein Normalteiler in ${}G\times H$ ist, und dass die Restklassengruppe ${}(G\times H)/G\times \{e_{H}\}$ kanonisch isomorph zu ${}H$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen zwischen zwei zyklischen Gruppen. Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es eine Gruppe ${}G$ und einen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon (\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow G$

mit der Eigenschaft gibt, dass ${}r\in \mathbb {R}$ genau dann rational ist, wenn ${}\varphi (r)=0$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme sämtliche Gruppen mit vier Elementen.