Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 23

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${}2+5{\mathrm {i} }$ über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${}{\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}$ über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}1$. Zeige, dass ${}L=K$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {C} }\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige ${}{\mathbb {C} }=L$.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige: ${}P$ besitzt genau dann eine Nullstelle in ${}L$, wenn es einen ${}K$- Algebrahomomorphismus ${}K[X]/(P)\rightarrow L$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein Element. Zeige: ${}f$ ist genau dann algebraisch über ${}K$, wenn ${}K[f]=K(f)$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}K\subseteq K'\subseteq L$ ein Zwischenkörper. Es sei ${}f\in L$ algebraisch über ${}K$. Zeige, dass dann ${}f$ auch algebraisch über ${}K'$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$, ${}a,b\in \mathbb {R}$, eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl ${}{\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} }$ sowie der Real- und der Imaginärteil von ${}z$ algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung

${}{\mathbb {A} }\cap \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {A} }\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}\epsilon ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}]=L\subseteq {\mathbb {C} }\,.$

1. Bestimme das Minimalpolynom von ${}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}$.
2. Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ gleich ${}3$ ist.
3. Zeige, dass die komplexe Konjugation nicht ${}L$ in ${}L$ überführt.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen ${}\mathbb {A}$ keine endliche Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.

Aufgabe

a) Man gebe eine Gerade ${}G$ in der Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}={\mathbb {C} }$ an, die keine algebraische Zahl enthält.

b) Man gebe einen Kreis ${}K$ in der Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}={\mathbb {C} }$ an, der keine algebraische Zahl enthält.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Inverse von ${}2x^{2}+3x-1$ im Körper ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-5)$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}L=K(X)$ der rationale Funktionenkörper über ${}K$. Zeige, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ einen Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ derart gibt, dass ${}L\cong \varphi (L)\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${}2{\mathrm {i} }-3{\sqrt {3}}$ über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}q=p^{n}$, ${}n\geq 2$. Zeige, dass ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ kein Vektorraum über ${}\mathbb {Z} /(p)$ sein kann.