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Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 23/kontrolle

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Übungsaufgaben

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .



Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .



Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass ist.



Aufgabe Aufgabe 23.4 ändern

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige .



Es sei eine Körpererweiterung und sei ein Polynom. Zeige: besitzt genau dann eine Nullstelle in , wenn es einen - Algebrahomomorphismus gibt.



Es sei eine Körpererweiterung und sei ein Element. Zeige: ist genau dann algebraisch über , wenn ist.



Es sei eine Körpererweiterung und ein Zwischenkörper. Es sei algebraisch über . Zeige, dass dann auch algebraisch über ist.



Es sei , , eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl sowie der Real- und der Imaginärteil von algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung



Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen keine endliche Körpererweiterung von ist.



a) Man gebe eine Gerade in der Ebene an, die keine algebraische Zahl enthält.

b) Man gebe einen Kreis in der Ebene an, der keine algebraische Zahl enthält.




Aufgaben zum Abgeben

Bestimme das Inverse von im Körper ( bezeichnet die Restklasse von ).



Es sei ein Körper und sei der rationale Funktionenkörper über . Zeige, dass es zu jedem einen Ringhomomorphismus derart gibt, dass eine endliche Körpererweiterung vom Grad ist.



Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .



Es sei eine Primzahl und , . Zeige, dass kein Vektorraum über sein kann.