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Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 21

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Aufgaben

Bestimme die Höhe des Punktes .



Zeige, dass die Höhe eines jeden Punktes auf der projektiven Geraden eine positive natürliche Zahl ist.



Zeige, dass die Höhe eines Punktes auf der projektiven Geraden gleich dem Maximum der Beträge des Zählers und des Nenners in einer gekürzten Darstellung von ist.



Bestimme die Punkte auf der projektiven Geraden , deren Höhe gleich ist.



Zeige, dass für , , die Gleichung

gilt.


Eine entsprechende Gleichung gilt für jeden Zahlkörper, siehe Satz Anhang 4.3, der Beweis erfordert aber stärkere Hilfsmittel der algebraischen Zahlentheorie. Den folgenden Spezialfall kann man mit Lemma 7.14 (Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)) beweisen.


Es sei ein Zahlkörper mit dem zugehörigen Zahlbereich . Zeige, dass für eine Einheit die Gleichung

gilt.



Es sei ein Zahlkörper mit dem zugehörigen Zahlbereich . Zeige, dass die Höhe eines Punktes der projektiven Geraden zu einer Einheitswurzel gleich ist.



Es sei ein Zahlkörper mit dem zugehörigen Zahlbereich . Zeige, dass die Höhe eines Punktes der projektiven Geraden zu einer Einheit nicht unbedingt gleich sein muss.



Bestimme die Höhe für den Punkt über dem Körper .



Zeige, dass in Lemma 21.8 die Abschätzung für die absolute Höhe im Allgemeinen echt ist.



Zeige, dass es in der Situation von Lemma 21.8 keine (von und unabhängige) positive Konstante derart gibt, dass die Abschätzung für die absolute Höhe gilt.



Zeige, dass es zu jeder Schranke nur endliche viele -rationale Punkte auf der projektiven Geraden gibt, deren Höhe unterhalb von liegt.



Zeige, dass es zu jeder Schranke nur endliche viele -rationale Punkte auf dem projektiven Raum gibt, deren Höhe unterhalb von liegt.



Es sei und sei

ein Körperautomorphismus mit dem induzierten Automorphismus auf dem projektiven Raum. Zeige, dass für die absolute Höhe

gilt.



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