Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 21

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass für beliebige reelle Zahlen die Abschätzung

gilt.


Aufgabe *

Es sei . Zeige, dass es ein derart gibt, dass

für alle gilt.


Aufgabe

Es sei ein reelles Polynom vom Grad . Zeige, dass es eine positive reelle Zahl derart gibt, dass die Abschätzung

für alle gilt.


Aufgabe

Es seien teilerfremde Polynome über einem Körper . Zeige, ohne den Hilbertschen Nullstellensatz heranzuziehen, dass das von den Homogenisierungen erzeugte Ideal Potenzen von und von enthält.


Im Falle eines Polynoms (anstatt einer rationalen Funktion) ergeben die beiden folgenden Aufgaben einen weiteren Beweis für Satz 21.1.

Aufgabe *

Es sei ein Zahlkörper, ein Polynom vom Grad und ein Betrag auf . Zeige, dass es eine positive reelle Zahl derart gibt, dass

für alle gilt.


Aufgabe

Beweise Satz 21.1 mit Hilfe von Aufgabe 21.5 für eine polynomiale Abbildung.


Aufgabe

Führe im Beweis zu Lemma 21.3 die Abschätzungen für die einzelnen Summanden durch.


Aufgabe

Zeige, dass eine elliptische Kurve über nicht (als Gruppe) endlich erzeugt ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper nicht (als Gruppe) endlich erzeugt ist.


Aufgabe

Es sei eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper , gegeben durch eine Gleichung

mit . Es sei eine reelle Einbettung fixiert und es sei die zugehörige reelle Kurve, vergleiche Aufgabe 6.6. Man gebe ein Beispiel, wo die eine reelle Zusammenhangskomponente von ein Erzeugendensystem von enthält, die andere aber nicht.


Aufgabe

Es sei eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper , gegeben durch eine Gleichung

mit . Es sei eine reelle Einbettung fixiert und es sei die zugehörige reelle Kurve, vergleiche Aufgabe 6.6. Man gebe ein Beispiel, wo die beiden reellen Zusammenhangskomponente von jeweils kein Erzeugendensystem von enthalten.


Aufgabe

Es sei eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper , gegeben durch eine Gleichung

mit . Es sei eine reelle Einbettung fixiert und es sei die zugehörige reelle Kurve, vergleiche Aufgabe 6.6. Es sei der Rang der Kurve. Zeige, dass beide reellen Zusammenhangskomponenten von jeweils Elemente besitzen, die jeweils modulo Torsion erzeugen.


Aufgabe

Es sei eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper , gegeben durch eine Gleichung

mit . Es sei eine reelle Einbettung fixiert und es sei die zugehörige reelle Kurve, vergleiche Aufgabe 6.6. Zeige, dass der Durchschnitt

mit derjenigen Komponente, die das neutrale Element enthält, eine Untergruppe von ist und dass eine kurze exakte Sequenz

vorliegt.


Aufgabe *

Es sei eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper und es seien

reelle Einbettungen. Zeige, dass die zugehörigen elliptischen Kurven und nicht homöomorph (als topologischer Raum mit der metrischen Topologie) und nicht isomorph (als Gruppe) sein müssen.


Aufgabe

Es sei eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper und es seien

komplexe Einbettungen. Zeige, dass zwischen den zugehörigen elliptischen Kurven und ein Gruppenisomorphismus vorliegt.



<< | Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)