- Die Höhenfunktion auf dem projektiven Raum
Im projektiven Raum über einem Körper ist jeder Punkt gleichberechtigt, es gibt stets einen Automorphismus, der den einen Punkt in einen anderen Punkt überführt. Im projektiven Raum über unterscheiden sich aber dennoch die Punkte hinsichtlich ihrer arithmetischen Eigenschaften oder arithmetischen Komplexität. Da ist zum einen die Frage, über welchem Körper ein Punkt definiert werden kann. Da es nur endlich viele Koordinaten gibt und diese algebraische Zahlen sind, gehört jeder Punkt
bereits zu
für eine endliche Erweiterung
,
beispielsweise kann man
-
nehmen, was aber im Allgemeinen nicht der Körper von minimalen Grad sein muss, man denke an , der bereits über definiert ist. Natürlich gibt es im projektiven Raum unendlich viele Punkte mit rationalen Koordinaten. Daher erhebt sich die Frage, wie man bei einem fixierten Zahlkörper die Punkte sinnvoll in zunehmend größere endliche Teilmengen anordnen kann. Es bezeichnet
, ,
die
Standardbeträge
eines Zahlkörpers .
Es sei ein
Zahlkörper
und sei
ein -Punkt mit den
homogenen Koordinaten
.
Dann versteht man unter der
Höhe
(über )
von die reelle Zahl
-
Dieser Ausdruck existiert, da bis auf endlich viele Ausnahmen zu jedem nichtarchimedischen Betrag der Faktor gleich ist. Durch die Potenz mit dem lokalen Grad als Exponenten wird aus dem Standardbetrag der natürliche Betrag, siehe
Bemerkung 20.8.
Es sei
und
.
Aufgrund der Multiplikativität der Beträge ist
-
für jeden Betrag
.
Das überträgt sich auf die Maxima und auf die Potenzen derart, dass zwischen der mittels und der mittels berechneten Höhe der Faktor besteht. Dieser ist aber nach
Satz Anhang 4.3
gleich . Da wir eine Koordinate gleich setzen können, und die unter sämtlichen Beträgen aus den Wert besitzt, ist das Maximum jeweils und daher ist die Höhe .
Es sei
-
Dann gilt für einen Betrag
die Einschränkung
mit einem Betrag
und unter Verwendung von
Satz Anhang 4.2
ergibt sich
Die im vorstehenden Lemma ausgedrückte Abhängigkeit vom Körper wird durch die folgende Definition überwunden.
Wegen
Lemma 21.5
und
der Gradformel
gilt für eine Körperkette
und einen Punkt
-
also ist die absolute Höhe in der Tat unabhängig vom Körper. Zur Berechnung der absoluten Höhe eines Punktes
wählt man eine beliebige endliche Körpererweiterung
,
über den der Punkt definiert ist, und bestimmt
Die Elemente seien jeweils aus einem
Zahlkörper
mit der
Standardbetragsmenge
.
- Man macht für jeden Betrag
die Fallunterscheidung, ob
-
ist oder nicht. Dies gilt dann auch für und für , woraus die Aussage folgt.
- Es sei ein Betrag. Bei
ist die Aussage klar, ebenso wenn die beiden -Faktoren sind. Es sei also
.
Dann ist
- Dies folgt durch eine Fallunterscheidung für die archimedischen und die nichtarchimedischen Beträge. Für die archimedischen Beträge verwendet man die Subadditivität des Potenzierens mit dem Exponenten
-
Eine Fallunterscheidung entlang dem Vergleich zu ergibt
- Wir vergleichen die Höhe bezüglich . Nach
Satz Anhang 4.3
ist
-
Somit ist
- Der Schrankensatz
Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.
Der folgende Satz besagt, dass man mit Hilfe der absoluten Höhe und dem Grad der Körpererweiterung endliche Punktmengen beschreiben kann.
Zu jeder vorgegebenen Gradschranke
und jeder Höhenschranke
ist die Menge
-
endlich.
Wir müssen nur Punkte der Form betrachten. Es seien die Schranken
und
fixiert und sei unterhalb der Schranke. D.h. dass in einer Körpererweiterung
liegt, deren Grad ist, und
.
Es sei
das
Minimalpolynom
zu , dessen Grad
sei. Es liegt dann in die Faktorzerlegung
(mit
)
-
vor. Nach
Aufgabe 21.14
stimmt die Höhe der mit der Höhe von überein. Nach
Lemma 21.9
ist
-
Nach
Aufgabe 21.13
unterbieten nur endlich viele -rationale Punkte eine vorgegebene Höhenschranke. Somit kommen nur endlich viele Polynome als Minimalpolynome in Frage und diese haben jeweils nur endlich viele Nullstellen.
Der Satz gilt auch für höherdimensionale projektive Räume.