Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 5/kontrolle
- Aufgaben
Es sei ein Körper der Charakteristik und sei .
- Bestimme die Hesse-Matrix von .
- Bestimme die Determinante der Hesse-Matrix von .
- Bestimme die Schnittpunkte von mit der projektiven Nullstellenmenge zur Determinate der Hesse-Matrix von über
- Bestimme für jeden Schnittpunkt aus Teil (3) die Tangente und bestätige Lemma 5.1.
Es sei über einem Körper mit gewissen .
![{\displaystyle {}F=X^{3}+aXZ^{2}+bZ^{3}-Y^{2}Z\in K[X,Y,Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db68d2379861cd656c89231e522e790955fbc25)
- Bestimme die Hesse-Matrix zu .
- Bestimme die Hesse-Matrix von im Punkt .
- Bestimme ein nichttriviales Element des Kernes der Hesse-Matrix von im Punkt .
Zeige, dass ein Polynom genau dann keine mehrfachen Nullstellen (und zwar auch nach keiner Körpererweiterung) besitzt, wenn die Diskriminante von verschieden ist.
Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad . Zeige, dass entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.
![{\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1fab2859b7ee2ac6d8eb66d7ab05770267c950)
Finde acht Punkte mit ganzzahligen Komponenten, die die Bedingung
erfüllen.
Wir betrachten die elliptische Kurve , die durch die affine Gleichung
gegeben ist.
- Parametrisiere den oberen Bogen von für .
- Bestimme den Punkt aus mit und mit der maximalen -Koordinate.
- Beschreibe eine endliche Körpererweiterung derart, dass liegt.
![{\displaystyle {}x\in [-1,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9771d725bdf1cc345a5fcd86d8964e45b7880b0b)
Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper und es sei die Gleichung für eine elliptische Kurve über . Zeige, dass es eine lineare Transformation derart gibt, dass in der neuen Gleichung für die Kurve die Koeffizienten aus sind.
Die vorstehende Aufgabe ist der Grund, warum man elliptische Kurven über direkt über realisieren kann. Es ist aber ein diffiziles Problem, was die optimale Realisierung über ist. Siehe die folgende Aufgabe und Aufgabe 25.18.
Wir betrachten die durch bzw. gegebenen elliptischen Kurven und in kurzer Weierstraßform, wobei die Beziehung und mit einem , , gelte. Zeige, dass die beiden Kurven die gleiche - Invariante besitzen.
Bestimme die Diskriminante und die - Invariante der durch die Gleichung
gegebenen elliptischen Kurve.
Bestimme die Diskriminante und die - Invariante der durch die Gleichung
gegebenen elliptischen Kurve.
Finde eine lineare Substitution mit derart, dass aus dem Polynom ein Polynom in entsteht, das und als Nullstellen besitzt. Wie lautet die dritte Nullstelle?
