Kurs:Funktionentheorie/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	3	4	3	3	7	3	4	5	2	5	9	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Stammfunktion einer Abbildung ${}f:D\rightarrow {\mathbb {K} }$ auf einer offenen Menge ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$.
2. Eine offene Abbildung

   $f\colon X\longrightarrow Y$

   zwischen topologischen Räumen.

3. Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

4. Eine analytische Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.
5. Der Hauptteil zu einer Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$.
6. Eine elliptische Funktion zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
2. Das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen.
3. Der Satz über die Homotopieinvarianz von Wegintegralen.

Aufgabe (4 Punkte)

Schildern Sie wesentliche Unterschiede zwischen der reellen Analysis und der komplexen Analysis in einer Variablen (Funktionentheorie).

Aufgabe (4 Punkte)

Charakterisiere diejenigen komplex differenzierbaren Abbildungen

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit der Eigenschaft, dass

${}\operatorname {Im} \,{\left(f(z)\right)}=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die holomorphe Ableitung die Quotientenregel

${}{\frac {\partial {\frac {f}{g}}}{\partial z}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial z}}-f{\frac {\partial g}{\partial z}}}{g^{2}}}\,$

auf dem nullstellenfreien Ort zu ${}g$ erfüllt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}2$ der Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z)={\frac {z^{2}-z+3}{z}},$

im Entwicklungspunkt ${}{\mathrm {i} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

${}G=S+3S^{2}-2S^{3}=S+S^{2}(3-2S)=S+S^{2}H\in {\mathbb {C} }[\![S]\!]\,$

eine formale Potenzreihe mit ${}H=3-2S$. Berechne ${}F_{1}$ und ${}F_{2}$ in der Rekursion ${}F_{n+1}=T-F_{n}^{2}\cdot H(F_{n})$ mit ${}F_{0}=T$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und sei

$\psi \colon W\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

${}d(\psi ^{*}f)=\psi ^{*}(df)\,$

gilt, wobei ${}\psi ^{*}$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{-1}),$

und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},uv,-u+v^{2}),$

und die Differentialform

${}\omega =xdx-zdy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$.

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform ${}\omega$ zum Weg ${}\varphi \circ \gamma$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz von Liouville.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den lokalen Exponenten von

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cosh z={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}},$

in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt ${}a\in {\mathbb {C} }$ der meromorphen Funktion ${}{\frac {1}{\sin z}}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}n\geq 2$. Zeige, dass es ${}n$ Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in {\mathbb {C} }$ derart gibt, dass es auf

${}U={\mathbb {C} }\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\,$

eine von der Identität verschiedene biholomorphe Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow U$ gibt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit ${}0\notin U$ und sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit

${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$

Zeige, dass

${}\exp \left(L(z)\right)=az\,$

(mit einer Konstanten ${}a\neq 0$) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}U$ gilt.

Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise den riemannschen Abbildungssatz.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige direkt, dass

${\left\{s\in {\mathbb {C} }\mid s\Gamma \subseteq \Gamma \right\}}$

ein Unterring von ${}{\mathbb {C} }$ ist.