Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 4/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es sei eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes und es seien
in einem Punkt (reell) total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Produktfunktion (Multiplikation in ) total differenzierbar ist, und dass
gilt.
Es sei eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes und es seien
in einem Punkt (reell) total differenzierbare Abbildungen, wobei sei. Zeige, dass dann auch die Quotientenfunktion (Division in ) total differenzierbar ist, und dass dabei
gilt.
Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die holomorphe Ableitung die Quotientenregel
auf dem nullstellenfreien Ort zu erfüllt.
Es sei offen und seien eine reell total differenzierbare Abbildung und sei . Zeige
Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige
Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die antiholomorphe Ableitung die Produktregel
erfüllt.
Bestimme die Ableitungen und von .
Bestimme die Ableitung von
Berechne von .
Skizziere das Bild von einigen kartesischen (horizontalen und vertikalen) Koordinatenlinien unter der komplexen Exponentialfunktion
Es sei offen,
komplex differenzierbar und ein Punkt mit . Es seien
differenzierbare Kurven mit und . Zeige, dass der Winkel zwischen und mit dem Winkel zwischen und übereinstimmt.
Es sei , , und seien
differenzierbare Kurven mit und . Zeige, dass der Winkel zwischen und nicht mit dem Winkel zwischen und übereinstimmt. Gibt es eine Regelmäßigkeit, wie sich die Winkel zueinander verhalten?
Es sei eine offene Teilmenge und es sei
eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann antiholomorph ist, wenn das totale Differential - antilinear ist.
Es sei eine offene Teilmenge und es sei
eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann antiholomorph ist, wenn für die holomorphe Ableitung gilt.
Es sei eine offene Teilmenge und es sei
eine antiholomorphe Funktion mit nirgends verschwindender (reeller) Jacobimatrix. Zeige, dass in jedem Punkt winkeltreu ist (also dass die Jacobimatrix in jedem Punkt winkeltreu ist).
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Bestimme die Ableitung von
Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige
auf dem nullstellenfreien Ort zu .
Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme für die folgenden Funktionen von nach , ob dazu die holomorphe bzw. die antiholomorphe Ableitung existieren und bestimme sie gegebenenfalls.
- ,
- ,
- .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Gebiet und es sei
eine reell stetig differenzierbare Abbildung mit der Eigenschaft, dass das totale Differential zu in jedem Punkt winkeltreu (und insbesondere invertierbar) ist. Zeige, dass entweder holomorph oder antiholomorph ist.