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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 4/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 4.1 ändern

Zeige und .



Aufgabe * Aufgabe 4.2 ändern

Es sei eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes und es seien

in einem Punkt (reell) total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Produktfunktion (Multiplikation in ) total differenzierbar ist, und dass

gilt.



Aufgabe Aufgabe 4.3 ändern

Es sei eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes und es seien

in einem Punkt (reell) total differenzierbare Abbildungen, wobei sei. Zeige, dass dann auch die Quotientenfunktion (Division in ) total differenzierbar ist, und dass dabei

gilt.



Aufgabe * Aufgabe 4.4 ändern

Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die holomorphe Ableitung die Quotientenregel

auf dem nullstellenfreien Ort zu erfüllt.



Aufgabe Aufgabe 4.5 ändern

Es sei offen und seien eine reell total differenzierbare Abbildung und sei . Zeige



Aufgabe Aufgabe 4.6 ändern

Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige



Aufgabe * Aufgabe 4.7 ändern

Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die antiholomorphe Ableitung die Produktregel

erfüllt.



Bestimme die Ableitungen und von .



Bestimme die Ableitung von



Berechne von .



Skizziere das Bild von einigen kartesischen (horizontalen und vertikalen) Koordinatenlinien unter der komplexen Exponentialfunktion



Es sei offen,

komplex differenzierbar und ein Punkt mit . Es seien

differenzierbare Kurven mit und . Zeige, dass der Winkel zwischen und mit dem Winkel zwischen und übereinstimmt.



Es sei , , und seien

differenzierbare Kurven mit und . Zeige, dass der Winkel zwischen und nicht mit dem Winkel zwischen und übereinstimmt. Gibt es eine Regelmäßigkeit, wie sich die Winkel zueinander verhalten?


Es sei eine offene Teilmenge. Eine Abbildung

heißt antiholomorph, wenn holomorph ist.



Es sei eine offene Teilmenge und es sei

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann antiholomorph ist, wenn das totale Differential - antilinear ist.



Es sei eine offene Teilmenge und es sei

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann antiholomorph ist, wenn für die holomorphe Ableitung gilt.



Es sei eine offene Teilmenge und es sei

eine antiholomorphe Funktion mit nirgends verschwindender (reeller) Jacobimatrix. Zeige, dass in jedem Punkt winkeltreu ist (also dass die Jacobimatrix in jedem Punkt winkeltreu ist).




Aufgaben zum Abgeben

Bestimme die Ableitung von



Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 4.18 ändern

Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige

auf dem nullstellenfreien Ort zu .



Bestimme für die folgenden Funktionen von nach , ob dazu die holomorphe bzw. die antiholomorphe Ableitung existieren und bestimme sie gegebenenfalls.

  1. ,
  2. ,
  3. .



Es sei ein Gebiet und es sei

eine reell stetig differenzierbare Abbildung mit der Eigenschaft, dass das totale Differential zu in jedem Punkt winkeltreu (und insbesondere invertierbar) ist. Zeige, dass entweder holomorph oder antiholomorph ist.