Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 28/kontrolle
- Eisensteinreihen
Es sei ein Gitter und . Dann erfüllen die Eisensteinreihen folgende Eigenschaften.
- Die Eisensteinreihen sind für absolut konvergent.
- Bei
ist
- Für ungerades
ist
- Für
ist
- Dies ist ein Spezialfall von Lemma 27.7.
- Das ist klar.
- Es sei ungerade. Auf ist durch die Punktsymmetrie eine Äquivalenzrelation gegeben, bei der jedes mit sich und mit äquivalent ist. Wir summieren gemäß diesen Äquivalenzklassen und erhalten
- Es ist
Die Eisensteinreihen sind Invarianten, die den Gittern zugeordnet sind. Allerdings haben streckungsäquivalente Gitter nicht die gleichen Werte für die Eisensteinreihen, sondern es liegt das in
Lemma 28.2 (4)
beschriebene Transformationsverhalten vor. Für ein Gitter mit einer Basis der Form mit
ist
insofern kann man eine Eisensteinreihe auch als abhängig vom Parameter und damit als Funktion auf auffassen.
- Die -Invariante
Es sei ein Gitter. Ausgehend von den Eisensteinreihen legt man weitere Invarianten zu fest. Die Wahl der Normierungen durch relativ große Zahlen scheint zunächst willkürlich, wird aber einsichtig(er), wenn man die algebraische Gleichung für den zugehörigen komplexen Torus (siehe Satz 12.14 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022))) berücksichtigt.
Statt von der absoluten Invarianten spricht man auch von der -Invarianten oder der universellen Invarianten.
Für ein Gitter der Form setzt man , , und .
Für ein Gitter und gelten die folgenden Regeln.
- Es ist
- Es ist
- Es ist
- Es ist
Die ersten beiden Aussagen folgen direkt aus Lemma 28.2 (4). Daraus ergeben sich auch die beiden anderen Aussagen.
Die Eigenschaft
Lemma 28.7 (4)
besagt, dass die -Invariante von
streckungsäquivalenten Gittern
gleich ist.
Wir betrachten das Gitter , für das die Multiplikation mit das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden Lemma 28.7 (2) auf an und erhalten
Daraus folgt .
Wir betrachten das Gitter , für das die Multiplikation mit das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden Lemma 28.7 (1) auf an und erhalten
Daraus folgt .
- Die Differentialgleichung für die Weierstraßfunktion
Mit Hilfe der Eisensteinreihen können wir die Laurent-Entwicklung der Weierstraßschen Funktion beschreiben.
Die Laurent-Entwicklung der Weierstraßschen -Funktion im Nullpunkt ist
Für die Summanden in der Weierstraßschen -Funktion gilt unter der Bedingung nach der Ableitung von Satz 7.3 die Gleichung
Somit gilt für alle , die betragsmäßig kleiner als alle Gitterpunkte sind, die Beschreibung
da nach Lemma 28.2 (2) die Eisenstein-Werte zu ungeradem Index sind.
Es sei ein Gitter.
Dann besitzt der Körper der elliptischen Funktionen die Beschreibung
mit dem kubischen Polynom
in der Weierstraßschen -Funktion, wobei und die Werte der Eisensteinreihen für bezeichnen.
Es wurde bereits in Lemma 27.13 gezeigt, dass der Körper der elliptischen Funktionen von und erzeugt wird. Die Weierstraßsche Funktion ist definitiv nicht konstant, somit ist . Wenn wir die angesprochene algebraische Relation zwischen und etabliert haben, so folgt, da diese irreduzibel ist, die Beschreibung des Körpers.
Nach Lemma 28.10 ist
Daraus ergibt sich
und
und
wobei die weggelassenen höheren Terme holomorph sind. Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion
die als polynomiale Kombination von elliptischen Funktionen wieder elliptisch ist, und allenfalls in den Gitterpunkten Pole besitzt. Die Laurent-Entwicklung dieser Funktion im Nullpunkt ist
Da sich hier die Polstellenterme wegheben, ist dies eine holomorphe elliptische Funktion, die im Nullpunkt den Wert besitzt. Daher ist die Funktion nach Lemma 27.3 konstant gleich und beschreibt eine algebraische Relation zwischen und .
Die Differentialgleichung
aus Satz 28.11 heißt Differentialgleichung für die Weierstraßsche Funktion . Dies sieht schon ziemlich stark wie die Gleichung einer elliptischen Kurve in kurzer Weierstraßform aus.
Wir betrachten die Faktorisierung
mit komplexen Zahlen . Wenn das Gitter ist, so sind nach Aufgabe 27.8 die Halbierungspunkte die Nullstellen von und damit auch der rechten Seite der obigen Gleichung. Man hat also , wenn man setzt, und die werden unter nur von diesen Halbierungspunkten aus einer halboffenen Fundamentalmasche getroffen. Nach Lemma 27.11 wird auf der halboffenen Fundamentalmasche jeder Wert von zweifach (mit Vielfachheiten gezählt) angenommen. Wenn ist, so auch . Dies wenden wir auf an, wo wir ein Urbild, nämlich schon kennen. Das andere Urbild stimmt aber, in die Fundamentalmasche verschoben, wieder mit überein. Daher sind die verschieden, was nach Lemma 4.8 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)) die Glattheit der Kurve bedeutet.