Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Konvergenz von Potenzreihen}
Es seien
\mathbed {c_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
komplexe Zahlen,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\sum_{k=0}^\infty c_k (z-a)^{k}}{} die zugehörige Potenzreihe im Entwicklungspunkt $a$. Wir betrachten die Funktionenfolge $f_n$ mit
\maabbeledisp {f_n} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \sum_{k = 0}^n c_k (z-a)^{k}
} {.}
Im Allgemeinen konvergiert diese Funktionenreihe weder punktweise auf ganz ${\mathbb C}$ noch gleichmäßig. Wir werden aber sehen, dass häufig auf geeigneten Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleichmäßige Konvergenz vorliegt.
\inputfaktbeweis
{Potenzreihe/Konvergenz in einem Punkt/Absolut gleichmäßige Konvergenz im Radius/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{{ \left( c_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { \sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sei für eine komplexe Zahl
\mathbed {z=b} {}
{b \neq a} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {konvergent}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist für jeden
\definitionsverweis {reellen}{}{}
Radius
\mathbed {r} {mit}
{0< r< \betrag { b-a }} {}
{} {} {} {}
die Potenzreihe
\mathl{f(z)}{} auf der
\definitionsverweis {abgeschlossenen Kreisscheibe}{}{}
\mathl{B \left( a,r \right)}{}
\definitionsverweis {punktweise}{}{}
\definitionsverweis {absolut}{}{}
und
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergent}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir werden
Satz 7.16
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ B \left( a,r \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
anwenden. Wegen der Konvergenz für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Summanden
\mathl{c_n (b-a)^n}{} nach
Lemma 6.4
eine Nullfolge, d.h. es gibt insbesondere ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { c_n (b-a)^n }
}
{ \leq} { M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher gelten für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ B \left( a,r \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { c_n (z-a)^n }
}
{ =} { \betrag { c_n (b-a)^n } \cdot \betrag { \frac{z-a}{b-a} } ^n
}
{ \leq} { M \cdot \betrag { \frac{z-a}{b-a} }^n
}
{ \leq} { M { \left( \frac{r}{ \betrag { b-a } } \right) }^n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist nach Voraussetzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ r }{ \betrag { b-a } } }
}
{ <} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher liegen rechts
\zusatzklammer {bis auf den Vorfaktor $M$} {} {}
die Summanden einer nach
Satz 7.3
konvergenten
\definitionsverweis {geometrische Reihe}{}{}
vor. Deren Grenzwert liefert eine
\definitionsverweis {obere Schranke}{}{}
für die Reihe der Supremumsnormen.
\inputdefinition
{}
{
Für eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n} { }
heißt
\mathdisp {{\operatorname{sup} \, ( \betrag { b-a } , b\in {\mathbb C} ,\, \sum_{n = 0}^\infty c_n(b-a)^n \text{ konvergiert} ) }} { }
der \definitionswort {Konvergenzradius}{} der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} oder $= \infty$.
}
Jede Potenzreihe hat also grundsätzlich das gleiche Konvergenzverhalten: Es gibt eine Kreisscheibe
\zusatzklammer {die eben durch den Konvergenzradius bestimmt ist, wobei die Extremfälle
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{r
}
{ = }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erlaubt sind} {} {}
um den Entwicklungspunkt, in deren Innerem die Potenzreihe konvergiert und so, dass sie außerhalb davon in keinem Punkt konvergiert. Nur auf dem Rand der Kreisscheibe kann alles mögliche passieren. Der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nicht sehr interessant. Bei positivem Konvergenzradius
\zusatzklammer {einschließlich dem Fall
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{r
}
{ = }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
sagt man auch, dass die Potenzreihe konvergiert.
\inputfaktbeweis
{Potenzreihe/Positiver Konvergenzradius/Stetige Funktion/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty c_n(z-a)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit einem positiven
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
$r$.}
\faktfolgerung {Dann stellt die Potenzreihe
\mathl{f(z)}{} auf der
\definitionsverweis {offenen Kreisscheibe}{}{}
\mathl{U { \left( a,r \right) }}{} eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
dar.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Jeder Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ U { \left( a,r \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt im Innern einer
\definitionsverweis {abgeschlossenen Kreisscheibe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \left( a,s \right)
}
{ \subseteq }{ U { \left( a,r \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ < }{r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Auf dieser abgeschlossenen Kreisscheibe ist die Potenzreihe nach
Lemma 8.1
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergent}{}{,}
daher ist nach
Lemma 7.14
die Grenzfunktion
\definitionsverweis {stetig}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen/Stetig/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{}
und die trigonometrischen Reihen
\definitionsverweis {Sinus}{}{}
und
\definitionsverweis {Kosinus}{}{}}
\faktfolgerung {besitzen einen unendlichen
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{,}
und die
\definitionsverweis {komplexe Exponentialfunktion}{}{,}
die
\definitionsverweis {komplexe Sinusfunktion}{}{}
und die
\definitionsverweis {komplexe Kosinusfunktion}{}{}
sind
\definitionsverweis {stetig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 7.6 und Korollar 8.3.
{Komplexe Potenzreihen/Summe/Produkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihen}{}{}
mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum $r$ sei. Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die Potenzreihe
\mathl{\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n
}
{ = }{ a_n+b_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist konvergent auf
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{} und stellt dort die Summenfunktion
\mathl{f+g}{} dar.
} {Die Potenzreihe
\mathl{\sum _{ n= 0}^\infty d_n z^{ n }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d_n
}
{ = }{\sum_{i = 0}^n a_ib_{n-i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist konvergent auf
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{} und stellt dort die Produktfunktion
\mathl{fg}{} dar.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 8.2. }
Die folgende Formel heißt \stichwort {Formel von Cauchy-Hadamard} {,} sie liefert eine wichtige Formel, um den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Cauchy-Hadamard/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Für den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
$R$ einer
\definitionsverweis {komplexen Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }}{}}
\faktfolgerung {gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \limsup \sqrt[n]{ \betrag { c_n } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ \limsup \sqrt[n]{ \betrag { c_n } } } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zahl aus
\mathl{\R_{\geq 0} \cup \{\infty \}}{} aus der Satzformulierung und sei $R$ der Konvergenzradius. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ < }{ r
}
{ < }{ r'
}
{ < }{ S
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \limsup \sqrt[n]{c_n}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ S } }
}
{ <} { { \frac{ 1 }{ r' } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt[n]{c_n}
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ r' } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ab einem gewissen $N$. Dann kann man auf
\mathl{\sum_{n = N}^\infty \betrag { c_n } r^n}{} wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt[n]{ \betrag { c_n } r^n}
}
{ =} { r \sqrt[n]{ \betrag { c_n } }
}
{ \leq} { { \frac{ r }{ r' } }
}
{ <} { 1
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das Wurzelkriterium
anwenden und erhält die absolute Konvergenz von
\mathl{\sum_{n = N}^\infty \betrag { c_n } r^n}{.} Da $r$ beliebig nah an $S$ ist, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \leq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ < }{ r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es unendlich viele Koeffizienten
\mathbed {c_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt[i]{ \betrag { c_i } }
}
{ >} { { \frac{ 1 }{ r } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { c_i } r^i
}
{ >} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher kann
\mathl{\sum_{n = 0}^\infty \betrag { c_n } r^n}{} nicht konvergieren, da die Reihenglieder keine Nullfolge bilden. Somit ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \geq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Aussage gilt auch für die Extremfälle, wo der Nenner gleich $0$
\zusatzklammer {dann ist der Konvergenzradius gleich $\infty$} {} {}
und wo der Nenner gleich $\infty$ ist
\zusatzklammer {dann ist der \anfuehrung{Konvergenzradius}{} gleich $0$, dann liegt also keine konvergente Potenzreihe vor} {} {.}
Dabei gilt in der Folge $\sqrt[n]{c_n}$ auch $+ \infty$ als Häufungspunkt, wenn die Folge unbeschränkt ist, und in diesem Fall ist der Limes superior gleich $+ \infty$, siehe auch direkt
Aufgabe 8.8.
Häufig wird der Konvergenzradius über die Quantität im Lemma definiert.
\inputbeispiel{}
{
Für die Potenzreihe
\mathl{\sum _{ n= 0}^\infty 3^n z^n}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt[n]{3^n}
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher ist nach
Lemma 8.6
der
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
gleich
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 3 } }}{.} Dies ergibt sich auch, wenn man mit der geometrischen Reihe vergleicht.
}
Die Formel ist nicht immer gut geeignet, den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen. Für die Exponentialreihe ist es einfacher, direkt zu zeigen, dass sie überall konvergiert, während der Weg über die Formel mit Aufgabe 8.16 aufwändiger ist.
\zwischenueberschrift{Entwicklungssatz und Identitätssatz}
Der folgende Satz heißt Entwicklungssatz für Potenzreihen.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Potenzreihe/Entwicklungssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ U { \left( a,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ =} { \sum _{ i= 0}^\infty d_i (z-b)^{ i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Entwicklungspunkt $b$ und mit einem Konvergenzradius
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \geq }{ R-\betrag { a-b }
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen
\definitionsverweis {dargestellten Funktionen}{}{}
auf
\mathl{U { \left( a,R \right) } \cap U { \left( b,s \right) }}{} übereinstimmen.}
\faktzusatz {Die Koeffizienten von $h$ sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_i
}
{ =} { \sum _{n = i}^\infty \binom{n}{i} c_n (b-a)^{n-i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_1
}
{ =} {\sum _{n = 1}^\infty n c_n (b-a)^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Zur Notationsvereinfachung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{U { \left( 0,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ U { \left( b,R- \betrag { b } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Familie
\mathdisp {x_{ n i } = c_n \binom{n}{i} (z-b)^{i} b^{n-i},\, n \in \N,\, i \in \{ 0,1 , \ldots , n \}} { . }
\teilbeweis {Wir zeigen zuerst, dass diese Familie
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Dies folgt aus der Abschätzung
\zusatzklammer {unter Verwendung von
Aufgabe 6.17} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{n = 0 , \ldots , N,\, i = 0 , \ldots , n } \betrag { c_n \binom{n}{i} (z-b)^{i} b^{n-i} }
}
{ \leq} { \sum_{n = 0}^{ N} \betrag { c_n } { \left( \sum_{ i = 0 }^n \binom{n}{i} \betrag { z-b } ^{i} \betrag { b }^{n-i} \right) }
}
{ =} { \sum_{n = 0}^{ N} \betrag { c_n } { \left( \betrag { z-b } + \betrag { b } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und daraus, dass wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z-b } + \betrag { b }
}
{ < }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gemäß
Lemma 8.1
die rechte Seite für beliebiges $N$ beschränkt ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wegen der Summierbarkeit gelten aufgrund des
großen Umordnungssatzes
die Gleichungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(z)
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty c_n z^n
}
{ =} { \sum_{n = 0 }^\infty c_n ( ( z-b) + b)^n
}
{ =} { \sum_{n = 0 }^\infty c_n { \left( \sum_{i = 0 }^n \binom{n}{i} (z-b)^{i} b^{n-i} \right) }
}
{ =} { \sum_{n \in \N ,\, i = 0 , \ldots , n } c_n \binom{n}{i} (z-b)^{i} b^{n-i}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{i = 0}^\infty { \left( \sum_{n = i}^\infty \binom{n}{i} c_n b^{n-i} \right) } (z-b)^{i}
}
{ =} { \sum_{i = 0}^\infty d_i (z-b)^{i}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Potenzreihen/Nullstellen/Häufungspunkt ist Entwicklungspunkt/Nullreihe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit positivem Konvergenzradius und derart,}
\faktvoraussetzung {dass der Entwicklungspunkt $0$ ein
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
der Nullstellen von $f$ ist.}
\faktfolgerung {Dann liegt die Nullreihe vor.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir nehmen an, dass die Potenzreihe nicht die Nullreihe ist. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { z^m Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer ebenfalls konvergenten Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q
}
{ =} { \sum_{k \in \N} c_k z^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(0)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Stetigkeit der durch $Q$ dargestellten Funktion ist dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(z)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer offenen Umgebung von $0$. Dort gibt es also keine weiteren Nullstellen, ein Widerspruch.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Potenzreihen/Nullstellen/Häufungspunkt/Null/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit positivem Konvergenzradius und derart,}
\faktvoraussetzung {dass die Nullstellen von $f$ einen
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
innerhalb der offenen Konvergenzscheibe besitzen.}
\faktfolgerung {Dann liegt die Nullreihe vor.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ U { \left( 0,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Häufungspunkt der Nullstellen von
\mathl{f}{.} Dann ist die umentwickelte Potenzreihe
\zusatzklammer {siehe
den Entwicklungssatz} {} {}
mit Entwicklungspunkt $b$ nach
Lemma 8.9
die Nullreihe. Aus
Aufgabe 8.22
ergibt sich, dass auch die Ausgangsreihe die Nullreihe ist.
{Komplexe Potenzreihen/Identitätssatz/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihen}{}{}
mit positiven
\definitionsverweis {Konvergenzradien}{}{}
und derart,}
\faktvoraussetzung {dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, dass die dadurch definierten Funktionen
\maabbdisp {f,g} {U { \left( 0,\epsilon \right) }} {{\mathbb K}
} {}
übereinstimmen.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_n
}
{ = }{b_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 8.24. }
\zwischenueberschrift{Ableitung von Potenzreihen}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} { \sum _{ n= 0}^\infty a_n (z-a)^{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktvoraussetzung {eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{g}
}
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty n a_n (z-a)^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe $g$ dargestellte Funktion $f$ ist in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ U { \left( a,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ =} { \tilde{ g}(z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mathbed {s \in \R_+} {}
{s<R} {}
{} {} {} {,}
vorgegeben und sei
\mathbed {r} {mit}
{s<r<R} {}
{} {} {} {.}
Dann konvergiert
\mathl{\sum_{n=0}^\infty \betrag { a_n } r^n}{} gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \leq }{ { \left( \frac{r}{s} \right) }^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für $n$ hinreichend groß ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{ n = 1}^\infty n \betrag { a_n } s^{n-1}
}
{ =} { \sum_{ n = 1}^N n \betrag { a_n } s^{n-1} + \sum_{ n = N+1}^\infty n \betrag { a_n } s^{n-1}
}
{ \leq} { \sum_{ n = 1}^N n \betrag { a_n } s^{n-1} + \frac{1}{s}\sum_{ n = N+1}^\infty \betrag { a_n } r^{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
sodass die Potenzreihe $\tilde{g}$ in
\mathl{B \left( a,s \right)}{} und somit in
\mathl{U { \left( a,R \right) }}{} konvergiert \zusatzklammer {dafür, dass der Konvergenzradius von $\tilde{g}$ nicht größer als $R$ ist, siehe
Aufgabe 8.29} {} {.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho (z)
}
{ =} { \sum_{n = 2}^\infty a_n (z-a)^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach
Korollar 8.3
stetige Funktion dar und besitzt in $a$ den Wert $0$. Daher zeigt die Gleichung
\zusatzklammer {von Potenzreihen und dargestellten Funktionen} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { f(a) + a_1 (z-a) + \rho (z) (z-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dass $f$ in $a$ linear approximierbar, also nach
Satz 1.2
differenzierbar ist mit der Ableitung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ =} { a_1
}
{ =} { \tilde{g} (a)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{U { \left( a,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach dem
Entwicklungssatz
gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(z)
}
{ =} { \sum _{ n= 0}^\infty b_n (z-b)^{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
deren dargestellte Funktion mit der durch $g$ dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von $b$ übereinstimmt, und wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1
}
{ = }{ \sum_{n = 1}^\infty na_n(b-a)^{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen
\zusatzklammer {angewendet auf $h$ und die formale Potenzreihenableitung $\tilde{h}$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(b)
}
{ =} { \tilde{h}(b)
}
{ =} { b_1
}
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty na_n(b-a)^{n-1}
}
{ =} { \tilde{g}(b)
}
}
{}{}{.}}
{}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Potenzreihe/Unendlich oft differenzierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion}
\faktfolgerung {ist in ihrem Konvergenzbereich unendlich oft differenzierbar.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ergibt sich direkt aus Satz 8.12.
{Komplexe Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \exp z
} {,}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \!'( z )
}
{ =} { \exp z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 8.30. }
{Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die
\definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \sin z
} {,}
ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin \!'( z)
}
{ =} { \cos z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die
\definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{}\maabbeledisp {} { {\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \cos z
} {,}
ist differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos \!'( z )
}
{ =} { - \sin z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 8.31. }
Insbesondere sind die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen
\definitionsverweis {ganze Funktionen}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Konvergente Potenzreihe/Taylor-Reihe/Übereinstimmung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{\sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n }}{} eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {positiven}{}{}
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} $r$ und
\maabbdisp {f} {U { \left( a,r \right) }} {{\mathbb K}
} {}
die dadurch
definierte
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ unendlich oft
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und die
\definitionsverweis {Taylor-Reihe}{}{}
im Entwicklungspunkt $a$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die unendliche Differenzierbarkeit folgt direkt aus
Satz 8.12 durch
\definitionsverweis {Induktion}{}{.}
Daher existiert die Taylor-Reihe insbesondere im Punkt $a$. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass die $n$-te
\definitionsverweis {Ableitung}{}{} von $f$ in $a$ den Wert
\mathl{c_n n!}{} besitzt. Dies folgt aber ebenfalls aus
Satz 8.12.
\zwischenueberschrift{Stammfunktionen}
{Konvergente Potenzreihe/Stammfunktion/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty a_n z^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine in
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{}
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Potenzreihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ a_{n-1} }{ n } } z^n} { }
ebenfalls in
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{} konvergent und stellt dort eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für $f$ dar.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 8.42. }