Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 8

Konvergenz von Potenzreihen

Es seien ${}c_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , komplexe Zahlen, ${}a\in {\mathbb {C} }$ und ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}$ die zugehörige Potenzreihe im Entwicklungspunkt ${}a$ . Wir betrachten die Funktionenfolge ${}f_{n}$ mit

f_{n}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sum _{k=0}^{n}c_{k}(z-a)^{k}.

Im Allgemeinen konvergiert diese Funktionenreihe weder punktweise auf ganz ${}{\mathbb {C} }$ noch gleichmäßig. Wir werden aber sehen, dass häufig auf geeigneten Teilmengen ${}T\subseteq {\mathbb {C} }$ gleichmäßige Konvergenz vorliegt.

Lemma

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge komplexer Zahlen und ${}a\in {\mathbb {C} }$ . Die Potenzreihe

{}f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,

sei für eine komplexe Zahl ${}z=b$ , ${}b\neq a$ , konvergent.

Dann ist für jeden reellen Radius ${}r$ mit ${}0<r<\vert {b-a}\vert$ die Potenzreihe ${}f(z)$ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(a,r\right)$ punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.

Beweis

Wir werden Satz 7.16 auf ${}T=B\left(a,r\right)$ anwenden. Wegen der Konvergenz für ${}z=b$ sind die Summanden ${}c_{n}(b-a)^{n}$ nach Lemma 6.4 eine Nullfolge, d.h. es gibt insbesondere ein ${}M>0$ mit

{}\vert {c_{n}(b-a)^{n}}\vert \leq M\,

für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Daher gelten für jedes ${}z\in B\left(a,r\right)$ die Abschätzungen

{}\vert {c_{n}(z-a)^{n}}\vert =\vert {c_{n}(b-a)^{n}}\vert \cdot \vert {\frac {z-a}{b-a}}\vert ^{n}\leq M\cdot \vert {\frac {z-a}{b-a}}\vert ^{n}\leq M{\left({\frac {r}{\vert {b-a}\vert }}\right)}^{n}\,.

Dabei ist nach Voraussetzung

{}{\frac {r}{\vert {b-a}\vert }}<1\,.

Daher liegen rechts (bis auf den Vorfaktor ${}M$ ) die Summanden einer nach Satz 7.3 konvergenten geometrische Reihe vor. Deren Grenzwert liefert eine obere Schranke für die Reihe der Supremumsnormen.

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Definition

Für eine Potenzreihe

\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}

heißt

{\operatorname {sup} \,(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}})}

der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative reelle Zahl oder ${}=\infty$ .

Jede Potenzreihe hat also grundsätzlich das gleiche Konvergenzverhalten: Es gibt eine Kreisscheibe (die eben durch den Konvergenzradius bestimmt ist, wobei die Extremfälle ${}r=0$ und ${}r=\infty$ erlaubt sind) um den Entwicklungspunkt, in deren Innerem die Potenzreihe konvergiert und so, dass sie außerhalb davon in keinem Punkt konvergiert. Nur auf dem Rand der Kreisscheibe kann alles mögliche passieren. Der Fall ${}r=0$ ist nicht sehr interessant. Bei positivem Konvergenzradius (einschließlich dem Fall ${}r=\infty$ ) sagt man auch, dass die Potenzreihe konvergiert.

Korollar

Es sei

{}f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,

eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius ${}r$ .

Dann stellt die Potenzreihe ${}f(z)$ auf der offenen Kreisscheibe ${}U{\left(a,r\right)}$ eine stetige Funktion dar.

Beweis

Jeder Punkt ${}z\in U{\left(a,r\right)}$ liegt im Innern einer abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(a,s\right)\subseteq U{\left(a,r\right)}$ mit ${}s<r$ . Auf dieser abgeschlossenen Kreisscheibe ist die Potenzreihe nach Lemma 8.1 gleichmäßig konvergent, daher ist nach Lemma 7.14 die Grenzfunktion stetig.

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Korollar

Die Exponentialreihe und die trigonometrischen Reihen Sinus und Kosinus

besitzen einen unendlichen Konvergenzradius, und die komplexe Exponentialfunktion, die komplexe Sinusfunktion und die komplexe Kosinusfunktion sind stetig.

Beweis

Dies folgt aus Satz 7.6 und Korollar 8.3.

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Lemma

Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum ${}r$ sei. Dann gelten folgende Aussagen.

Die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ist konvergent auf ${}U{\left(0,r\right)}$ und stellt dort die Summenfunktion ${}f+g$ dar.

Die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}z^{n}$ mit ${}d_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ ist konvergent auf ${}U{\left(0,r\right)}$ und stellt dort die Produktfunktion ${}fg$ dar.

Beweis

Siehe Aufgabe 8.2.

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Die folgende Formel heißt Formel von Cauchy-Hadamard, sie liefert eine wichtige Formel, um den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen.

Lemma

Für den Konvergenzradius ${}R$ einer komplexen Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

gilt

${}R={\frac {1}{\limsup {\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}}}\,.$

Beweis

Es sei ${}S={\frac {1}{\limsup {\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}}}$ die Zahl aus ${}\mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}$ aus der Satzformulierung und sei ${}R$ der Konvergenzradius. Es sei ${}0<r<r'<S$ . Es ist dann

{}\limsup {\sqrt[{n}]{c_{n}}}={\frac {1}{S}}<{\frac {1}{r'}}\,

und damit ist ${}{\sqrt[{n}]{c_{n}}}\leq {\frac {1}{r'}}$ für alle ${}n\geq N$ ab einem gewissen ${}N$ . Dann kann man auf ${}\sum _{n=N}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$ wegen

{}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert r^{n}}}=r{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}\leq {\frac {r}{r'}}<1\,

das Wurzelkriterium anwenden und erhält die absolute Konvergenz von ${}\sum _{n=N}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$ . Da ${}r$ beliebig nah an ${}S$ ist, folgt ${}S\leq R$ .

Es sei nun ${}S<r$ . Dann gibt es unendlich viele Koeffizienten ${}c_{i}$ , ${}i\in I$ , mit

{}{\sqrt[{i}]{\vert {c_{i}}\vert }}>{\frac {1}{r}}\,

bzw.

{}\vert {c_{i}}\vert r^{i}>1\,.

Daher kann ${}\sum _{n=0}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$ nicht konvergieren, da die Reihenglieder keine Nullfolge bilden. Somit ist auch ${}S\geq R$ .

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Diese Aussage gilt auch für die Extremfälle, wo der Nenner gleich ${}0$ (dann ist der Konvergenzradius gleich ${}\infty$ ) und wo der Nenner gleich ${}\infty$ ist (dann ist der „Konvergenzradius“ gleich ${}0$ , dann liegt also keine konvergente Potenzreihe vor). Dabei gilt in der Folge ${}{\sqrt[{n}]{c_{n}}}$ auch ${}+\infty$ als Häufungspunkt, wenn die Folge unbeschränkt ist, und in diesem Fall ist der Limes superior gleich ${}+\infty$ , siehe auch direkt Aufgabe 8.8. Häufig wird der Konvergenzradius über die Quantität im Lemma definiert.

Beispiel

Für die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }3^{n}z^{n}$ ist ${}{\sqrt[{n}]{3^{n}}}=3$ und daher ist nach Lemma 8.6 der Konvergenzradius gleich ${}{\frac {1}{3}}$ . Dies ergibt sich auch, wenn man mit der geometrischen Reihe vergleicht.

Die Formel ist nicht immer gut geeignet, den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen. Für die Exponentialreihe ist es einfacher, direkt zu zeigen, dass sie überall konvergiert, während der Weg über die Formel mit Aufgabe 8.16 aufwändiger ist.

Entwicklungssatz und Identitätssatz

Der folgende Satz heißt Entwicklungssatz für Potenzreihen.

Satz

Es sei

{}f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,

eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$ und sei ${}b\in U{\left(a,R\right)}$ .

Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe

${}h=\sum _{i=0}^{\infty }d_{i}(z-b)^{i}\,$

mit Entwicklungspunkt ${}b$ und mit einem Konvergenzradius ${}s\geq R-\vert {a-b}\vert >0$ derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf ${}U{\left(a,R\right)}\cap U{\left(b,s\right)}$ übereinstimmen.

Die Koeffizienten von ${}h$ sind

{}d_{i}=\sum _{n=i}^{\infty }{\binom {n}{i}}c_{n}(b-a)^{n-i}\,

und insbesondere ist

{}d_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }nc_{n}(b-a)^{n-1}\,.

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei ${}a=0$ , ${}b\in U{\left(0,R\right)}$ und ${}z\in U{\left(b,R-\vert {b}\vert \right)}$ . Wir betrachten die Familie

x_{ni}=c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i},\,n\in \mathbb {N} ,\,i\in \{0,1,\ldots ,n\}.

Wir zeigen zuerst, dass diese Familie

summierbar ist. Dies folgt aus der Abschätzung (unter Verwendung von Aufgabe 6.17)

{}{\begin{aligned}\sum _{n=0,\ldots ,N,\,i=0,\ldots ,n}\vert {c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}}\vert &\leq \sum _{n=0}^{N}\vert {c_{n}}\vert {\left(\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\vert {z-b}\vert ^{i}\vert {b}\vert ^{n-i}\right)}\\&=\sum _{n=0}^{N}\vert {c_{n}}\vert {\left(\vert {z-b}\vert +\vert {b}\vert \right)}^{n}\end{aligned}}

und daraus, dass wegen ${}\vert {z-b}\vert +\vert {b}\vert <R$ gemäß Lemma 8.1 die rechte Seite für beliebiges ${}N$ beschränkt ist.
Wegen der Summierbarkeit gelten aufgrund des großen Umordnungssatzes die Gleichungen

{}{\begin{aligned}f(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}((z-b)+b)^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}{\left(\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}\right)}\\&=\sum _{n\in \mathbb {N} ,\,i=0,\ldots ,n}c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }{\left(\sum _{n=i}^{\infty }{\binom {n}{i}}c_{n}b^{n-i}\right)}(z-b)^{i}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }d_{i}(z-b)^{i}.\end{aligned}}

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Lemma

Es sei ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius und derart, dass der Entwicklungspunkt ${}0$ ein Häufungspunkt der Nullstellen von ${}f$ ist.

Dann liegt die Nullreihe vor.

Beweis

Wir nehmen an, dass die Potenzreihe nicht die Nullreihe ist. Dann ist

{}P=z^{m}Q\,

mit einer ebenfalls konvergenten Potenzreihe

{}Q=\sum _{k\in \mathbb {N} }c_{k}z^{k}\,

mit ${}c_{0}\neq 0$ . Insbesondere ist ${}Q(0)\neq 0$ . Wegen der Stetigkeit der durch ${}Q$ dargestellten Funktion ist dann auch ${}P(z)\neq 0$ für ${}z\neq 0$ in einer offenen Umgebung von ${}0$ . Dort gibt es also keine weiteren Nullstellen, ein Widerspruch.

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Korollar

Es sei ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius und derart, dass die Nullstellen von ${}f$ einen Häufungspunkt innerhalb der offenen Konvergenzscheibe besitzen.

Dann liegt die Nullreihe vor.

Beweis

Es sei ${}b\in U{\left(0,R\right)}$ der Häufungspunkt der Nullstellen von ${}f$ . Dann ist die umentwickelte Potenzreihe (siehe den Entwicklungssatz) mit Entwicklungspunkt ${}b$ nach Lemma 8.9 die Nullreihe. Aus Aufgabe 8.22 ergibt sich, dass auch die Ausgangsreihe die Nullreihe ist.

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Korollar

Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein ${}\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen

f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }

übereinstimmen.

Dann ist ${}a_{n}=b_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ .

Beweis

Siehe Aufgabe 8.24.

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Ableitung von Potenzreihen

Satz

Es sei

{}g=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,

eine

konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$ .

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

${}{\tilde {g}}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(z-a)^{n-1}\,$

konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe ${}g$ dargestellte Funktion ${}f$ ist in jedem Punkt ${}z\in U{\left(a,R\right)}$ differenzierbar mit

${}f'(z)={\tilde {g}}(z)\,.$

Beweis

Es sei ${}s\in \mathbb {R} _{+}$ , ${}s<R$ , vorgegeben und sei ${}r$ mit ${}s<r<R$ . Dann konvergiert ${}\sum _{n=0}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n}$ gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen ${}n\leq {\left({\frac {r}{s}}\right)}^{n}$ für ${}n$ hinreichend groß ist

{}{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}&=\sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+\sum _{n=N+1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}\\&\leq \sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+{\frac {1}{s}}\sum _{n=N+1}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n},\end{aligned}}

sodass die Potenzreihe ${}{\tilde {g}}$ in ${}B\left(a,s\right)$ und somit in ${}U{\left(a,R\right)}$ konvergiert (dafür, dass der Konvergenzradius von ${}{\tilde {g}}$ nicht größer als ${}R$ ist, siehe Aufgabe 8.29).
Die Potenzreihe

{}\rho (z)=\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n-1}\,

ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach Korollar 8.3 stetige Funktion dar und besitzt in ${}a$ den Wert ${}0$ . Daher zeigt die Gleichung (von Potenzreihen und dargestellten Funktionen)

{}f(z)=f(a)+a_{1}(z-a)+\rho (z)(z-a)\,,

dass ${}f$ in ${}a$ linear approximierbar, also nach Satz 1.2 differenzierbar ist mit der Ableitung

{}f'(a)=a_{1}={\tilde {g}}(a)\,.

Es sei nun ${}b\in U{\left(a,R\right)}$ . Nach dem Entwicklungssatz gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}b$ ,

{}h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(z-b)^{n}\,,

deren dargestellte Funktion mit der durch ${}g$ dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von ${}b$ übereinstimmt, und wobei ${}b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}$ gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen (angewendet auf ${}h$ und die formale Potenzreihenableitung ${}{\tilde {h}}$ )

{}f'(b)={\tilde {h}}(b)=b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}={\tilde {g}}(b)\,.

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Korollar

Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion

ist in ihrem Konvergenzbereich unendlich oft differenzierbar.

Beweis

Dies ergibt sich direkt aus Satz 8.12.

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Satz

Die Exponentialfunktion

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,

ist differenzierbar mit

${}\exp \!'(z)=\exp z\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 8.30.

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Satz

Die Sinusfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

ist differenzierbar mit

${}\sin \!'(z)=\cos z\,$

und die
Kosinusfunktion
${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$

ist differenzierbar mit

${}\cos \!'(z)=-\sin z\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 8.31.

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Insbesondere sind die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen ganze Funktionen.

Satz

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius ${}r$ und

f\colon U{\left(a,r\right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }

die dadurch definierte Funktion.

Dann ist ${}f$ unendlich oft differenzierbar und die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt ${}a$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.

Beweis

Die unendliche Differenzierbarkeit folgt direkt aus Satz 8.12 durch Induktion. Daher existiert die Taylor-Reihe insbesondere im Punkt ${}a$ . Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass die ${}n$ -te Ableitung von ${}f$ in ${}a$ den Wert ${}c_{n}n!$ besitzt. Dies folgt aber ebenfalls aus Satz 8.12.