Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/11/Klausur mit Lösungen/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 8 | 3 | 1 | 2 | 4 | 3 | 2 | 2 | 4 | 5 | 4 | 4 | 2 | 2 | 2 | 4 | 4 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
- Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
- Eine Ordnungsrelation auf heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.
- Ein kommutativer Halbring ist eine Menge mit
Verknüpfungen
und
und mit zwei ausgezeichneten Elementen
und
derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die das neutrale Element ist.
- Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die das neutrale Element ist.
- Es gilt das Distributivgesetz, also
- Zwei Strecken und heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von sind.
- Unter dem arithmetischen Mittel der Zahlen versteht man den Bruch
- Es sei ein
angeordneter Körper
und ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung
die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis .
Aufgabe (3 Punkte)
- Auf den natürlichen Zahlen gibt es eine eindeutig bestimmte
Verknüpfung
die
- Es seien
und
zwei natürliche Zahlen im Zehnersystem. Dann ist
genau dann, wenn
oder wenn ist und wenn es ein , , derart gibt, dass
- Es sei
eine Gleichung in der Variablen über einem gegebenen Zahlenbereich . Es sei
eine Abbildung. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.
- Wenn eine Lösung der Gleichung ist, so ist auch eine Lösung der umgeformten Gleichung
- Wenn injektiv ist, so ist genau dann eine Lösung der Gleichung, wenn eine Lösung der umgeformten Gleichung
ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?
Karl hat nicht an Susanne gedacht, da er sonst einen Kloß im Hals bekommen hätte, was er nicht hat. Andererseits bekommt er einen roten Kopf, was bedeutet, dass er das leere Tor nicht getroffen hat oder an Susanne gedacht hat. Da letzteres nicht der Fall ist, hat er das leere Tor nicht getroffen.
Aufgabe (8 Punkte)
Beweise den Isomorphiesatz für Dedekind-Peano-Modelle.
Da die Abbildung insbesondere die Null respektieren soll, muss
sein. Da die Abbildung die Nachfolgerabbildungen respektieren soll, gilt generell
für alle . Speziell gilt
Aus dem gleichen Grund muss unter Verwendung des schon Bewiesenen
Ebenso muss
u.s.w gelten. Hier hat man keine Wahlmöglichkeiten, alles ist durch die Nachfolgereigenschaft bestimmt. Da jedes Element aus von aus durch die Nachfolgerabbildung schließlich und genau einmal erreicht wird, ist dies eine wohldefinierte Abbildung von nach .
Zum Nachweis der Surjektivität betrachten wir die Menge
Wir müssen zeigen, dass
ist. Dazu wenden wir das Induktionsaxiom für an. Wegen
gehört . Wenn ist, so ist also
für ein . Wegen der Verträglichkeit mit der Nachfolgerabbildung ist
d.h. auch . Daher ist unter dem Nachfolger abgeschlossen und nach dem Induktionsaxiom ist also . Zum Nachweis der Injektivität seien verschieden. und zwar sei ein (direkter oder) höherer Nachfolger von . Dann ist der entsprechende Nachfolger von und insbesondere davon verschieden (siehe Aufgabe 7.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))), da das Nachfolgernehmen in injektiv ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine endliche Menge und eine Abbildung. Es sei die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen mit gibt.
Da endlich ist, ist auch die Abbildungsmenge endlich, da es für jedes Element nur viele Möglichkeiten gibt, wohin es abgebildet werden kann. Die Hintereinanderschaltungen , , gehören alle zu dieser Abbildungsmenge. Da es keine injektive Abbildung von in eine endliche Menge gibt, gibt es Zahlen mit
Aufgabe (1 Punkt)
Wie oft sagt man „bitte“, wenn man dreimal „bitte, bitte, bitte, bitte“ sagt.
Man sagt - mal „bitte“.
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.
Zwei aufeinander folgende Quadratzahlen haben die Form und mit . Ihre Differenz ist
Dies ist eine ungerade Zahl. Umgekehrt kann man eine ungerade Zahl als mit schreiben, und die Gleichungskette zeigt, dass die Differenz von zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den binomischen Lehrsatz (für einen kommutativen Halbring) für den Exponenten aus dem binomischen Lehrsatz für den Exponenten .
Es seien Elemente in einem kommutativen Halbring . Der binomische Lehrsatz für besagt
Somit ist
und dies besagt der binomische Lehrsatz für den Exponenten .
Aufgabe (3 Punkte)
Heinz-Peter schaut am Morgen in den Spiegel und entdeckt fünf Pickel auf seiner Stirn. Diese müssen alle ausgedrückt werden, wobei zwei Pickel so nah beieinander liegen, dass sie unmittelbar hintereinander behandelt werden müssen. Wie viele Reihenfolgen gibt es, die Pickel auszudrücken?
Das Pickelpaar und die drei übrigen einzelnen Pickel können als vier Pickelfelder betrachtet werden, die in beliebiger Reihenfolge beackert werden könnnen. Dafür gibt es Möglichkeiten. Bei jeder dieser Reihenfolge hat man beim Pickelpaar die freie Wahlmöglichkeit, welcher zuerst drankommt. Daher gibt es insgesamt
Möglichkeiten.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Primfaktorzerlegung von .
Es ist
Aufgabe (2 Punkte)
Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.
Es ist
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen . Sie besagt (für )
Der Induktionsanfang für ist durch
gesichert. Es sei also die Aussage für ein schon bewiesen und betrachten wir die Aussage für . Es ist
Aufgabe (5 Punkte)
Finde unter den Zahlen diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.
Wir betrachten direkt die Primfaktorzerlegungen
annehmen. Bei ist
welches Teiler besitzt, ist schon zu groß. Bei besitzt (wir führen nur ernsthafte Kandidaten auf)
Teiler,
hat Teiler,
hat Teiler,
Bei besitzt
Teiler,
hat Teiler,
ist zu groß,
hat Teiler. Bei besitzt
Teiler.
ist zu groß. Wegen
kann es nicht mehr Primfaktoren geben. Also besitzt unter allen Zahlen unterhalb von die maximale Anzahl an Teilern, nämlich .
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass beim euklidischen Algorithmus zu und der größte gemeinsame Teiler von zwei aufeinanderfolgenden Resten stets gleich bleibt und schließe daraus, dass der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen berechnet.
Die Reste seien mit bezeichnet. Wenn ein gemeinsamer Teiler von und von ist, so zeigt die Beziehung
dass auch ein Teiler von und damit ein gemeinsamer Teiler von und von ist. Die Umkehrung folgt genauso. Daraus folgt mit der Gleichungskette
dass der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und berechnet.
Aufgabe (4 Punkte)
Seien und aus gegeben, die unter auf das gleiche Element abgebildet werden. Dann ist
Durch beidseitige Multiplikation mit mit hinreichend groß kann man erreichen, dass alle Exponenten positiv sind. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und da Primzahlen sind, folgt, dass die Exponenten links und rechts übereinstimmen. Also ist
und die Abbildung ist injektiv.
Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise nicht im Bild liegt. Wäre nämlich
so könnte man die negativen Exponenten der rechten Seite nach links bringen und es würde sich ein Widerspruch zur eindeutigen Primfaktorzerlegung ergeben.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element positiv ist.
Nehmen wir an, dass nicht größer als ist. Dann ist
und somit wäre nach Lemma 19.13 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (6) sofort
im Widerspruch zu Lemma 19.13 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (1).
Aufgabe (2 Punkte)
Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? (Rechne mit Monat = Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).
Milliliter sind Liter. Siddhartha hat somit in den sechs Monaten
Liter Milch getrunken.
Dabei hat er Kilogramm zugenommen. Der Anteil der Gewichtszunahme an der Gesamttrinkmenge beträgt also
In Prozent ist der Anteil ca. Prozent.
Aufgabe (2 Punkte)
Berechne die Gaußklammer von .
Es ist
und
daher ist
also ist
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise, dass die ganzzahlige Exponentialfunktion zu einer Basis streng wachsend ist.
Es sei also und . Wir müssen zeigen, dass
ist. Nach Lemma 27.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (4) ist
mit . Wegen Lemma 19.13 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (8) ist
und daher ist auch
Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)
- Führe sämtliche Divisionen mit Rest
für
aus.
- Bestimme mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von .
- Bestimme mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von .
- Es ist
- Man kann aus den ganzzahligen Anteilen der obigen Liste die Ziffern ablesen. Somit ist
- Es ist