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Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/28/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 1 6 0 4 0 3 1 3 6 2 5 3 3 4 4 4 2 58




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Differenzmenge zu zwei Mengen .
  2. Eine surjektive Abbildung
  3. Eine Verknüpfung auf einer Menge .
  4. Die Differenz von natürlichen Zahlen mit .
  5. Ein kommutativer Ring .
  6. Ein archimedisch angeordneter Körper .


Lösung

  1. Man nennt

    die Differenzmenge ohne “.

  2. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
  3. Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung
  4. Die Differenz ist diejenige natürliche Zahl für die gilt.
  5. Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
  6. Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
    gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Ordnungsrelation und der Addition auf .
  2. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
  3. Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe .


Lösung

  1. Für natürliche Zahlen gilt

    genau dann, wenn es ein gibt mit

  2. Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit
  3. Zu je zwei Gruppenelementen besitzen die beiden Gleichungen
    eindeutige Lösungen .


Aufgabe (1 Punkt)

In Winnetou I weist Winnetou Sam Hawkens, nachdem dieser in der Nacht auf einen vermeintlichen Belauscher geschossen hat, mit den folgenden Worten zurecht: „Der Schuss war für uns gefährlich ... Entweder hat Sam sich geirrt und keine Augen gesehen. Dann war der Knall überflüssig und kann nur Feinde herbeilocken, die sich vielleicht in der Nähe befinden. Oder es ist wirklich ein Mensch dagewesen, dessen Augen Sam bemerkt hat. Auch da war es falsch, auf ihn zu schießen, weil vorauszusehen war, dass die Kugel nicht treffen würde.“ Welches Argumentationsmuster verwendet Winnetou?


Lösung

Beweis durch Fallunterscheidung. Es wird begründet, dass der Schuss falsch war, und zwar entlang der beiden Fälle, ob wirklich jemand da war oder nicht.


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

Ist diese Verknüpfung assoziativ?


Lösung

Diese Verknüpfung ist nicht assoziativ. Um dies zu zeigen, kann man einfach

nehmen, wobei eine nichtleere Menge sei. Dann ist und somit ist einerseits

und andererseits


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl einer endlichen Menge.


Lösung

Es seien die bijektiven Abbildungen

und

gegeben. Da man bijektive Abbildungen umkehren kann und da die Hintereinanderschaltung von bijektiven Abbildungen nach Lemma 6.4 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))  (3) wieder bijektiv ist, ist auch

bijektiv. Wir müssen also nur die endlichen Standardmengen untereinander vergleichen. Wir müssen also zeigen, dass wenn eine bijektive Abbildung

vorliegt, dass dann

ist. Dies zeigen wir durch Induktion nach . Wenn ist, so ist die Menge links leer und somit muss auch die rechte Menge leer sein, also ist dann auch . Es seien nun nicht , sodass sie also jeweils einen Vorgänger haben. Es sei der Vorgänger von und der Vorgänger von . Diese Zahlen sind eindeutig bestimmt, da die Nachfolgerabbildung injektiv ist. Wir setzen

Dann gibt es nach der Herausnahme von bzw. eine bijektive Abbildung

Nach Lemma 6.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) gibt es eine bijektive Abbildung zwischen und . Somit gibt es dann auch insgesamt eine bijektive Abbildung zwischen und . Nach Induktionsvoraussetzung ist , also auch


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

  1. , ,
  2. , ,
  3. , ,
  4. , ,


Lösung

  1. Es handelt sich um eine Abbildung. Diese ist nicht injektiv, da zweifach getroffen wird, und nicht surjektiv, da nicht getroffen wird.
  2. Es handelt sich um keine Abbildung, da für die kein Wert festgelegt ist.
  3. Es handelt sich um eine Abbildung. Sie ist injektiv, aber nicht surjektiv (und somit nicht bijektiv), da nicht getroffen wird.
  4. Es handelt sich um eine Abbildung. Diese ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Professor Knopfloch war schwimmen. Beim Auswringen seiner Badehose hat er sich ungeschickt angestellt und sich dabei drei Finger verstaucht (er besitzt noch alle zehn Finger).

  1. Wie viele Möglichkeiten für die verstauchten Finger gibt es?
  2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man weiß, dass genau ein Daumen verstaucht wurde.
  3. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man weiß, dass genau ein Daumen verstaucht wurde und beide Hände betroffen sind.


Lösung

  1. Es gibt

    Möglichkeiten dafür, welche Finger verstaucht sind.

  2. Für den Daumen gibt es zwei Möglichkeiten, von den verbleibenden Nichtdaumenfingern sind zwei verstaucht, also gibt es insgesamt

    Möglichkeiten in dieser Situation.

  3. Für den Daumen gibt es wieder zwei Möglichkeiten. Es ist dann entweder auf der Hand des verstauchten Daumens ein weiterer Finger verstaucht oder aber auf der anderen Hand sind genau zwei Finger verstaucht. Deshalb gibt es

    Möglichkeiten für diese Situation.


Aufgabe (1 Punkt)

Was ist die direkteste mathematische Beziehung zwischen und ?


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Ein Schokoriegel der Marke „Höcker und Kerbe“ besteht aus einer einzigen Reihe von hintereinanderliegenden höckerförmigen Schokostücken, die jeweils durch eine Einkerbung (der Sollbruchstelle) miteinander verbunden sind. Zeige mit und ohne Induktion, dass man, egal bei welcher Teilungsstrategie, genau Teilungsschritte braucht, um den Schokoriegel vollständig in seine Stücke aufzuteilen.


Lösung

Ohne Induktion. Eine Schockriegel mit Höckern hat Einkerbungen. Jede muss bei einer vollständigen Teilung genau einmal gebrochen werden, deshalb braucht man genau Teilungsschritte.

Mit Induktion. Induktionsanfang. Bei gibt es nichts zu teilen, also kein Teilungsschritt. Induktionsvoraussetzung. Es sei bereits bewiesen, dass man bei einer vollständigen Teilung eines Schokoriegels der Länge genau Schritte braucht. Es sei ein Schokoriegel der Länge gegeben. Jeder Teilungsvorgang desselben beginnt mit einer ersten Teilung, wobei zwei Teilriegel entstehen, wobei der eine Riegel aus (mit ) und der andere aus Stücken besteht. Auf diese beiden Teilriegel können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden. Die Anzahl der dann benötigten Teilungsschritte ist

wie behauptet.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass es zu natürlichen Zahlen mit eindeutig bestimmte natürliche Zahlen mit und mit

gibt.


Lösung

Zur Existenz.  Dies wird durch Induktion über bewiesen. Es sei fixiert. Der Induktionsanfang für ergibt sich direkt mit und . Für den Induktionsschluss sei die Aussage für bewiesen, d.h. wir haben eine Darstellung mit und müssen eine ebensolche Darstellung für finden. Wenn ist, so ist

und wegen ist dies eine gesuchte Darstellung. Ist hingegen , so ist

und dies ist eine gesuchte Darstellung.
Zur Eindeutigkeit. Sei , wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung . Dann gilt . Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als , links steht aber ein Vielfaches von , sodass die Differenz sein muss und die beiden Darstellungen übereinstimmen.


Aufgabe (2 Punkte)

Welche der folgenden Ausdrücke sind korrekte Darstellungen von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem?

a)

b)

c)

d) (also unendlich oft die Ziffer 9 hintereinander nach rechts)

e) (also unendlich oft die Ziffer 3 hintereinander nach links)

f)

g)

h)


Lösung Natürliche Zahlen/Dezimalsystem/Beispiele/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die einer maximal zweistelligen Zahl (im Zehnersystem) diejenige Zahl zuordnet, die entsteht, wenn man Einer- und Zehnerziffern vertauscht (einstellige Zahlen sind dabei als zu verstehen).

  1. Ist die Abbildung bijektiv?
  2. Wie nennt man die Zahlen mit
  3. Ziehe von den beiden Zahlen und die kleinere (im Sinne von kleinergleich) von der größeren ab. Was sieht das Ergebnis im Zehnersystem aus? Was ist seine Quersumme?
  4. Es sei diejenige Zahl, die im Dreiersystem als gegeben ist. Wie lautet im Dreiersystem?


Lösung

  1. Wenn man die Ziffern vertauscht und dann nochmal vertauscht, so erhält man die Ausgangszahl zurück. Daher ist

    und somit ist die Abbildung bijektiv.

  2. Dies sind die Zahlen der Form , diese nennt man Schnappszahlen.
  3. Sei

    mit . Dann ist

    Ohne Einschränkung sei

    also

    Dann ist

    Bei steht hier . Bei steht hinten eine negative Einerziffer, deshalb ist die korrekte Zifferndarstellung aus

    ablesbar. Die Quersumme ist

  4. Es ist

    Dies wird unter auf abgebildet, und wegen

    ist diese Zahl im Dreiersystem gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Die Zahlen

werden abwechselnd mit einem oder keinem Minuszeichen versehen, wobei kein Minuszeichen bekommt. Was ist die Summe dieser Zahlen?


Lösung

Zwei in einer solchen Reihe aufeinanderfolgende Zahlen ergeben

Ein solches Paar trägt also mit zur Gesamtsumme bei. Wenn gerade ist, so gibt es solche Paare und die Gesamtsumme ist . Wenn ungerade ist, so gibt es solche Paare sowie die letzte alleinstehende Zahl , die positiv eingeht. Also ist die Gesamtsumme in diesem Fall gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien Elemente in einem Körper . Zeige, dass

und

die Gleichung erfüllen.


Lösung

Die linke Seite ist

und die rechte Seite ist

Um die Gleichheit zu zeigen, können wir den Summanden beidseitig abziehen und ausklammern, es ist somit

zu zeigen. Wir ziehen beidseitig ab und dann ist

zu zeigen. Der Summand links ist , wir ziehen beidseitig ab und somit folgt die Behauptung aus


Aufgabe (4 Punkte)

Heinz Ngolo bekommt zu seinem neunten Geburtstag einen Hund, der neunzig Tage alt ist. Wann (wie viele Tage nach dem Geburtstag) sind Heinz und der Hund biologisch gleich alt, wenn man ein Hundejahr als sieben Menschenjahre ansetzt? Wie alt ist dann Heinz?


Lösung

Es sei die Anzahl der Tage nach dem Geburtstag. Das Alter von Heinz zum Zeitpunkt ist (in Tagen) (wir rechnen mit Tagen pro Jahr) und das Alter des Hundes in Menschentagen ist . Dies führt auf die Bedingung

also

Dies ergibt

Die beiden sind also Tage nach dem Geburtstag biologisch altersgleich. Heinz ist dann Jahre und

Tage alt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Größergleichrelation auf mit der Addition und mit der Multiplikation verträglich ist.


Lösung

Es sei , und mit positiven Nennern . Durch Übergang zu einem gemeinsamen Hauptnenner können wir direkt annehmen. Sei

also

Dann ist nach Lemma 19.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))  (2) auch

und somit ist

Wenn die beiden Brüche und beide sind, so sind alle Zähler und Nenner aus und dies überträgt sich auf , also ist auch dies .


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine rationale Zahl, . Beweise für durch Induktion die Beziehung


Lösung

Für steht beidseitig . Es sei die Gleichung für ein bestimmtes bewiesen. Dann ist

was die Behauptung für ist.