Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/28/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 1 | 6 | 0 | 4 | 0 | 3 | 1 | 3 | 6 | 2 | 5 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 2 | 58 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Differenzmenge zu zwei Mengen .
- Eine surjektive Abbildung
- Eine Verknüpfung auf einer Menge .
- Die Differenz von natürlichen Zahlen mit .
- Ein kommutativer Ring .
- Ein archimedisch angeordneter Körper .
- Man nennt
die Differenzmenge „ ohne “.
- Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
- Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine
Abbildung
- Die Differenz ist diejenige natürliche Zahl für die gilt.
- Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
- Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Beziehung zwischen der Ordnungsrelation und der Addition auf .
- Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
- Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe .
- Für
natürliche Zahlen
gilt
genau dann, wenn es ein gibt mit
- Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl
, , mit
- Zu je zwei Gruppenelementen besitzen die beiden Gleichungen
Aufgabe (1 Punkt)
In Winnetou I weist Winnetou Sam Hawkens, nachdem dieser in der Nacht auf einen vermeintlichen Belauscher geschossen hat, mit den folgenden Worten zurecht: „Der Schuss war für uns gefährlich ... Entweder hat Sam sich geirrt und keine Augen gesehen. Dann war der Knall überflüssig und kann nur Feinde herbeilocken, die sich vielleicht in der Nähe befinden. Oder es ist wirklich ein Mensch dagewesen, dessen Augen Sam bemerkt hat. Auch da war es falsch, auf ihn zu schießen, weil vorauszusehen war, dass die Kugel nicht treffen würde.“ Welches Argumentationsmuster verwendet Winnetou?
Beweis durch Fallunterscheidung. Es wird begründet, dass der Schuss falsch war, und zwar entlang der beiden Fälle, ob wirklich jemand da war oder nicht.
Aufgabe (1 Punkt)
Diese Verknüpfung ist nicht assoziativ. Um dies zu zeigen, kann man einfach
nehmen, wobei eine nichtleere Menge sei. Dann ist und somit ist einerseits
und andererseits
Aufgabe (6 Punkte)
Beweise den Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl einer endlichen Menge.
Es seien die bijektiven Abbildungen
und
gegeben. Da man bijektive Abbildungen umkehren kann und da die Hintereinanderschaltung von bijektiven Abbildungen nach Lemma 6.4 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (3) wieder bijektiv ist, ist auch
bijektiv. Wir müssen also nur die endlichen Standardmengen untereinander vergleichen. Wir müssen also zeigen, dass wenn eine bijektive Abbildung
vorliegt, dass dann
ist. Dies zeigen wir durch Induktion nach . Wenn ist, so ist die Menge links leer und somit muss auch die rechte Menge leer sein, also ist dann auch . Es seien nun nicht , sodass sie also jeweils einen Vorgänger haben. Es sei der Vorgänger von und der Vorgänger von . Diese Zahlen sind eindeutig bestimmt, da die Nachfolgerabbildung injektiv ist. Wir setzen
Dann gibt es nach der Herausnahme von bzw. eine bijektive Abbildung
Nach Lemma 6.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) gibt es eine bijektive Abbildung zwischen und . Somit gibt es dann auch insgesamt eine bijektive Abbildung zwischen und . Nach Induktionsvoraussetzung ist , also auch
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)
Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?
- ,
,
- ,
,
- ,
,
- ,
,
- Es handelt sich um eine Abbildung. Diese ist nicht injektiv, da zweifach getroffen wird, und nicht surjektiv, da nicht getroffen wird.
- Es handelt sich um keine Abbildung, da für die kein Wert festgelegt ist.
- Es handelt sich um eine Abbildung. Sie ist injektiv, aber nicht surjektiv (und somit nicht bijektiv), da nicht getroffen wird.
- Es handelt sich um eine Abbildung. Diese ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)
Professor Knopfloch war schwimmen. Beim Auswringen seiner Badehose hat er sich ungeschickt angestellt und sich dabei drei Finger verstaucht (er besitzt noch alle zehn Finger).
- Wie viele Möglichkeiten für die verstauchten Finger gibt es?
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man weiß, dass genau ein Daumen verstaucht wurde.
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man weiß, dass genau ein Daumen verstaucht wurde und beide Hände betroffen sind.
- Es gibt
Möglichkeiten dafür, welche Finger verstaucht sind.
- Für den Daumen gibt es zwei Möglichkeiten, von den verbleibenden Nichtdaumenfingern sind zwei verstaucht, also gibt es insgesamt
Möglichkeiten in dieser Situation.
- Für den Daumen gibt es wieder zwei Möglichkeiten. Es ist dann entweder auf der Hand des verstauchten Daumens ein weiterer Finger verstaucht oder aber auf der anderen Hand sind genau zwei Finger verstaucht. Deshalb gibt es
Möglichkeiten für diese Situation.
Aufgabe (1 Punkt)
Was ist die direkteste mathematische Beziehung zwischen und ?
Aufgabe (3 Punkte)
Ein Schokoriegel der Marke „Höcker und Kerbe“ besteht aus einer einzigen Reihe von hintereinanderliegenden höckerförmigen Schokostücken, die jeweils durch eine Einkerbung (der Sollbruchstelle) miteinander verbunden sind. Zeige mit und ohne Induktion, dass man, egal bei welcher Teilungsstrategie, genau Teilungsschritte braucht, um den Schokoriegel vollständig in seine Stücke aufzuteilen.
Ohne Induktion. Eine Schockriegel mit Höckern hat Einkerbungen. Jede muss bei einer vollständigen Teilung genau einmal gebrochen werden, deshalb braucht man genau Teilungsschritte.
Mit Induktion. Induktionsanfang. Bei gibt es nichts zu teilen, also kein Teilungsschritt. Induktionsvoraussetzung. Es sei bereits bewiesen, dass man bei einer vollständigen Teilung eines Schokoriegels der Länge genau Schritte braucht. Es sei ein Schokoriegel der Länge gegeben. Jeder Teilungsvorgang desselben beginnt mit einer ersten Teilung, wobei zwei Teilriegel entstehen, wobei der eine Riegel aus (mit ) und der andere aus Stücken besteht. Auf diese beiden Teilriegel können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden. Die Anzahl der dann benötigten Teilungsschritte ist
wie behauptet.
Aufgabe (6 Punkte)
Zeige durch Induktion, dass es zu natürlichen Zahlen mit eindeutig bestimmte natürliche Zahlen mit und mit
gibt.
Zur Existenz. Dies wird durch Induktion über bewiesen. Es sei fixiert. Der Induktionsanfang für ergibt sich direkt mit und . Für den Induktionsschluss sei die Aussage für bewiesen, d.h. wir haben eine Darstellung mit und müssen eine ebensolche Darstellung für finden. Wenn ist, so ist
und wegen ist dies eine gesuchte Darstellung. Ist hingegen , so ist
und dies ist eine gesuchte Darstellung.
Zur Eindeutigkeit. Sei
,
wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung
.
Dann gilt
.
Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als , links steht aber ein Vielfaches von , sodass die Differenz sein muss und die beiden Darstellungen übereinstimmen.
Aufgabe (2 Punkte)
Welche der folgenden Ausdrücke sind korrekte Darstellungen von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem?
a)
b)
c)
d) (also unendlich oft die Ziffer 9 hintereinander nach rechts)
e) (also unendlich oft die Ziffer 3 hintereinander nach links)
f)
g)
h)
Lösung Natürliche Zahlen/Dezimalsystem/Beispiele/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die einer maximal zweistelligen Zahl (im Zehnersystem) diejenige Zahl zuordnet, die entsteht, wenn man Einer- und Zehnerziffern vertauscht (einstellige Zahlen sind dabei als zu verstehen).
- Ist die Abbildung bijektiv?
- Wie nennt man die Zahlen mit
- Ziehe von den beiden Zahlen und die kleinere (im Sinne von kleinergleich) von der größeren ab. Was sieht das Ergebnis im Zehnersystem aus? Was ist seine Quersumme?
- Es sei diejenige Zahl, die im Dreiersystem als gegeben ist. Wie lautet im Dreiersystem?
- Wenn man die Ziffern vertauscht und dann nochmal vertauscht, so erhält man die Ausgangszahl zurück. Daher ist
und somit ist die Abbildung bijektiv.
- Dies sind die Zahlen der Form , diese nennt man Schnappszahlen.
- Sei
mit . Dann ist
Ohne Einschränkung sei
also
Dann ist
Bei steht hier . Bei steht hinten eine negative Einerziffer, deshalb ist die korrekte Zifferndarstellung aus
ablesbar. Die Quersumme ist
- Es ist
Dies wird unter auf abgebildet, und wegen
ist diese Zahl im Dreiersystem gleich .
Aufgabe (3 Punkte)
Die Zahlen
werden abwechselnd mit einem oder keinem Minuszeichen versehen, wobei kein Minuszeichen bekommt. Was ist die Summe dieser Zahlen?
Zwei in einer solchen Reihe aufeinanderfolgende Zahlen ergeben
Ein solches Paar trägt also mit zur Gesamtsumme bei. Wenn gerade ist, so gibt es solche Paare und die Gesamtsumme ist . Wenn ungerade ist, so gibt es solche Paare sowie die letzte alleinstehende Zahl , die positiv eingeht. Also ist die Gesamtsumme in diesem Fall gleich
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die Primfaktorzerlegung von .
Es ist
Aufgabe (4 Punkte)
Die linke Seite ist
und die rechte Seite ist
Um die Gleichheit zu zeigen, können wir den Summanden beidseitig abziehen und ausklammern, es ist somit
zu zeigen. Wir ziehen beidseitig ab und dann ist
zu zeigen. Der Summand links ist , wir ziehen beidseitig ab und somit folgt die Behauptung aus
Aufgabe (4 Punkte)
Heinz Ngolo bekommt zu seinem neunten Geburtstag einen Hund, der neunzig Tage alt ist. Wann (wie viele Tage nach dem Geburtstag) sind Heinz und der Hund biologisch gleich alt, wenn man ein Hundejahr als sieben Menschenjahre ansetzt? Wie alt ist dann Heinz?
Es sei die Anzahl der Tage nach dem Geburtstag. Das Alter von Heinz zum Zeitpunkt ist (in Tagen) (wir rechnen mit Tagen pro Jahr) und das Alter des Hundes in Menschentagen ist . Dies führt auf die Bedingung
also
Dies ergibt
Die beiden sind also Tage nach dem Geburtstag biologisch altersgleich. Heinz ist dann Jahre und
Tage alt.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass die Größergleichrelation auf mit der Addition und mit der Multiplikation verträglich ist.
Es sei , und mit positiven Nennern . Durch Übergang zu einem gemeinsamen Hauptnenner können wir direkt annehmen. Sei
also
Dann ist nach Lemma 19.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (2) auch
und somit ist
Wenn die beiden Brüche und beide sind, so sind alle Zähler und Nenner aus und dies überträgt sich auf , also ist auch dies .
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine rationale Zahl, . Beweise für durch Induktion die Beziehung
Für steht beidseitig . Es sei die Gleichung für ein bestimmtes bewiesen. Dann ist
was die Behauptung für ist.