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Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/30/Klausur mit Lösungen/kontrolle

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 2 3 2 3 0 7 3 0 2 2 7 1 7 3 4 3 3 0 1 59




Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. Zur Implikation heißt die Implikation die Kontraposition.
  2. Die Abbildung

    ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.

  3. Eine Ordnungsrelation auf heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.
  4. Unter der -ten Potenz von versteht man die -fache Multiplikation von mit sich selbst

    ( Faktoren).

  5. Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

    heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

    1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
    2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
    3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit
  6. Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

    wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt.


Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. Es seien und Modelle für die natürlichen Zahlen. Dann gibt es genau eine (bijektive) Abbildung

    die das Zählen (also die und die Nachfolgerabbildung)

    respektiert.
  2. Es sei ein kommutativer Halbring und . Ferner sei eine natürliche Zahl. Dann gilt
  3. Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und es sei . Dann gibt es eine natürliche Zahl mit .


Aufgabe (2 Punkte)

In einer U-Bahn-Station wird der Zugang und der Ausgang über eine elektronische Karte geregelt, die man an einen Sensor halten muss, damit sich die Schranke öffnet. Es gibt 5 Ausgänge, aber nur 2 Zugänge. Was haben sich die Leute dabei vermutlich gedacht?


Lösung U-Bahn/Zugang und Ausgang/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 (1.5+1.5) Punkte)

Ein Zug fährt Kilometer den Rhein abwärts mit einer Geschwindigkeit von kmh. Auf dem Rhein fahren Schiffe in beide Richtungen, alle mit einer Geschwindigkeit von kmh, wobei sie zu den gleichgerichteten Schiffen einen konstanten Abstand von km einhalten. Zu Beginn der Fahrt ist der Zug gleichauf mit zwei Schiffen (in beide Richtungen).

  1. Wie vielen entgegenkommenden Schiffen begegnet der Zug?
  2. Wie viele Schiffe überholt der Zug?


Lösung

Wir denken uns die Rheinstrecke skaliert von bis , der Startort ist beim Nullpunkt und der Zielpunkt des Zuges ist bei . Aufgrund der Anfangsbedingung befinden sich zum Startzeitpunkt Schiffe in beide Richtungen in den Positionen

  1. Die entgegenkommenden Schiffe sind die in Gegenrichtung fahrenden Schiffe, die sich zum Startzeitpunkt an den Positionen bis befinden (das Schiff in der Position ist nach einer Stunde an der Position und begegnet zum Endzeitpunkt dem Zug). Dies sind insgesamt Schiffe.
  2. Die eingeholten Schiffe sind die in gleicher Richtung fahrenden Schiffe, die sich zum Startzeitpunkt an den Positionen bis befinden (das Schiff in der Position ist nach einer Stunde an der Position und wird zum Endzeitpunkt vom Zug eingeholt). Dies sind insgesamt Schiffe.


Aufgabe (2 Punkte)

In der Klasse 3c wird eine Klassenarbeit geschrieben, jeder Schüler und jede Schülerin bekommt eine Note. Beschreibe diesen Vorgang als ein Abbildung. Was bedeuten injektiv und surjektiv in diesem Fall?


Lösung Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion aus den Dedekind-Peano-Axiomen.


Lösung

Es sei

Wir wollen zeigen, dass ist, denn genau dies bedeutet, dass die Aussage für alle gilt. Nach der ersten Bedingung ist

Nach der zweiten Voraussetzung gilt für , dass aus stets folgt. Damit erfüllt beide Voraussetzungen im Induktionsprinzip für Mengen, sodass gilt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Multiplikation und endliche Mengen.


Lösung

Wir behaupten, dass die Abbildung

bijektiv ist. Zum Beweis der Surjektivität sei vorgegeben. Dieses (ganzzahlige) Intervall kann man in die disjunkten Intervalle

unterteilen. Das Element gehört somit zu einem dieser Intervalle, d.h. es gibt ein mit

mit zwischen und . Dann ist

mit einem zwischen und und gehört somit zum Bild. Zum Beweis der Injektivität seien

gegeben, die auf das gleiche Element abbilden. Es gilt also

Da und beide zu gehören, sind die Summen jeweils maximal gleich bzw. . Daher können die Zahlen nur dann gleich sein, wenn

und dann nach der Abziehregel auch

ist.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die Fußballmannschaft des TSV Wildberg verfügt über drei Torwarte, sieben Verteidigungsspieler, sechs Mittelfeldspieler und vier Angreifer. Im anstehenden Spiel gegen Effringen will sie (neben einem Torwart) mit vier Verteidigern, drei Mittelfeldspielern und drei Angreifern agieren.

  1. Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es?
  2. Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es, wenn man zusätzlich noch berücksichtigt, dass einer der eingesetzten Spieler der Kapitän sein soll?
  3. Wildberg geht in der Minute mit in Führung und entschließt sich, die Verteidigung zu stärken, indem zwei Angreifer durch zwei Verteidiger ersetzt werden. Wie viele Auswechlungsmöglichkeiten gibt es dafür?


Lösung

  1. Es gibt
    Möglichkeiten, die Mannschaft aufzustellen.
  2. Es gibt Möglichkeiten, die Mannschaft aufzustellen und dabei einen Kapitän festzulegen.
  3. Es sind drei Angreifer auf dem Platz und drei Verteidiger auf der Bank. Also gibt es

    Auswechselmöglichkeiten.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Heute ist Freitag. Welcher Wochentag war vor Tagen?


Lösung

Es ist

der Rest bei der Division von durch ist also . Daher ist vor Tagen der gleiche Wochentag wie vor Tagen, also ein Samstag.


Aufgabe (2 Punkte)

Angelika Freiwurf kommt um 15:00 zum See und angelt bis 18:00. Zu Beginn befinden sich 10 Hechte und 80000 Buntbarsche im See. Ein Hecht verspeist pro Stunde 3 Buntbarsche. Angelika fängt pro Stunde 5 Buntbarsche. Darüber hinaus fängt sie um 16:00 einen Hecht und zum Abschluss um 18:00 noch mal einen Hecht. Wie viele Hechte und wie viele Buntbarsche befinden sich um 18:00 im See?


Lösung

Angelika fängt insgesamt 2 Hechte und

Buntbarsche. In der ersten Stunde verspeisen die 10 Hechte

Buntbarsche und in den folgenden zwei Stunden verspeisen die 9 verbliebenen Hechte

Buntbarsche. Wegen

gibt es um noch 8 Hechte und

Buntbarsche im See.


Aufgabe (7 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.


Lösung

Es sei das Maximum der beteiligten vier Zahlen . Wir zeigen, dass dieses Maximum nach endlich vielen Iterationen kleiner wird. Da wir uns innerhalb der natürlichen Zahlen befinden, folgt daraus, dass das Maximum irgendwann wird, was bedeutet, dass dann alle vier Zahlen sind. Da alle Zahlen aus sind und die nichtnegative Differenz genommen wird, wird das Maximum definitiv nicht größer bei einer Iteration. Allerdings kann das Maximum gleich bleiben. Dies kann aber nur dann sein, wenn ein Nachbar (zyklisch gedacht, die vierte Zahl ist also auch ein Nachbar der ersten Zahl) des Maximums gleich ist. Wir müssen (durch zyklisches Vertauschen und Spiegeln) nur noch die Situation anschauen, wo das Tupel die Form

mit hat. Wenn ist, so liefert die Abbildung

Wir müssen also nur noch die Situation anschauen, wo es höchstens zwei Nullen gibt. Bei

mit ergibt sich im nächsten Schritt

was keine Nullen mehr hat. Bei

mit ergibt sich im nächsten Schritt

Bei besitzt dies nur eine Null, bei sind wir in einem schon behandelten Fall. Es sei das Tupel jetzt

mit

Das Ergebnis ist

Bei ist dies

mit dem Folgetupel

Bei besitzt dies ein kleineres Maximum, bei ist das Folgetupel gleich

und davon ist das Folgetupel

Es sei also . Das Folgetupel ist bei gleich

und dessen Folgetupel ist

Allenfalls in der dritten Position könnte eine stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von , sodass das Folgetupel keine Null besitzt.


Das Folgetupel ist bei gleich

und dabei ist wieder allenfalls in der dritten Position eine , stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von , sodass das Folgetupel keine Null besitzt.


Aufgabe (1 Punkt)

Jonathan (8 Jahre alt) antwortet auf die Frage, was ist, nach einigem Überlegen mit „achtundachtzig Millionen achthundertachtundachtzigtausend achthundertachtundachzig“. Was hätte er auf die Frage, was ist, geantwortet?


Lösung

Sieben Millionen siebenhundertsiebenundsiebzigtausend siebenhundertsiebenundsiebzig.


Aufgabe (7 (1+2+4) Punkte)

  1. Zeige, dass kein Teiler von ist, aber ein Teiler von .
  2. Es sei und es sei diejenige natürliche Zahl, die im Zehnersystem durch aufeinanderfolgende Einsen dargestellt wird. Zeige, dass genau dann von geteilt wird, wenn gerade ist.
  3. Es seien und es sei die Zahl mit Einsen und die Zahl mit Einsen (im Zehnersystem). Zeige, dass genau dann von geteilt wird, wenn von geteilt wird.


Lösung

  1. Es ist

    kein Vielfaches von und

  2. Bei gerade ist . Das Produkt der mit der Zahl mit Einsen (und Nullen) und dann ist

    mit Einsen, also ist ein Teiler. Die umgekehrte Richtung wird unter (3) systematischer bewiesen.

  3. Wir schreiben

    und

    Wenn ein Teiler von ist, so gilt mit einem . Es ist dann nach dem allgemeinen Distributivgesetz

    da jedes zwischen und nach der Division mit Rest eine eindeutige Darstellung als

    mit den angegebenen Bedingungen für und besitzt.

    Wenn kein Teiler von ist, so gilt mit einem und . Es ist dann

    Der linke Summand ist ein Vielfaches von aufgrund der Hinrichtung. Nehmen wir an, dass ein Vielfaches von wäre. Dann wäre auch der rechte Summand, also , ein Vielfaches von . Dann müsste ein Vielfaches von sein, da die Zehnerpotenz und teilerfremd sind. Dies kann wegen nicht sein.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Lösung

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir . Man betrachtet die Zahl

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen teilbar, da bei Division von durch immer ein Rest verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von , die es nach Satz 12.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass beim euklidischen Algorithmus zu und der größte gemeinsame Teiler von zwei aufeinanderfolgenden Resten stets gleich bleibt und schließe daraus, dass der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen berechnet.


Lösung

Die Reste seien mit bezeichnet. Wenn ein gemeinsamer Teiler von und von ist, so zeigt die Beziehung

dass auch ein Teiler von und damit ein gemeinsamer Teiler von und von ist. Die Umkehrung folgt genauso. Daraus folgt mit der Gleichungskette

dass der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und berechnet.


Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl.

  1. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und .
  2. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von und .


Lösung

  1. Es ist

    und

    Daher ist ein gemeinsamer Teiler der beiden Zahlen. Die beiden anderen Faktoren, also bzw. sind teilerfremd, da ihr Abstand ist. Somit tragen diese Faktoren nicht zum größten gemeinsamen Teiler bei und daher ist der größte gemeinsame Teiler gleich .

  2. Nach Lemma 21.3 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) und Teil (1) ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen gleich


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Stammbrüche und .

  1. Wie viele Stammbrüche liegen echt zwischen und ?
  2. Wie viele rationale Zahlen der Form mit liegen echt zwischen und ?
  3. Wie viele rationale Zahlen liegen echt zwischen und ?


Lösung

  1. Nur der Stammbruch .
  2. Es ist

    daher ist die einzige rationale Zahl von dieser Form, die zwischen den vorgegebenen Zahlen liegt.

  3. Zwischen je zwei verschiedenen Zahlen liegen stets unendlich viele rationale Zahlen.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Bruno liest in der Zeitung: „Im letzen Jahr war bei aller Autounfälle Alkohol mit im Spiel“. Bruno überlegt: „ mit Alkohol, ohne Alkohol. Dann ist es also egal, ob man was trinkt oder nicht. In Zukunft werde ich das auch nicht mehr so streng sehen“. Beurteile diese Überlegung!


Lösung Autounfall/Alkoholanteil/Aufgabe/Lösung