Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/30/Klausur mit Lösungen/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 3 | 2 | 3 | 0 | 7 | 3 | 0 | 2 | 2 | 7 | 1 | 7 | 3 | 4 | 3 | 3 | 0 | 1 | 59 |
Aufgabe (3 Punkte)
- Zur Implikation heißt die Implikation die Kontraposition.
- Die Abbildung
ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.
- Eine Ordnungsrelation auf heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.
- Unter der -ten Potenz von versteht man die -fache Multiplikation von mit sich selbst
( Faktoren).
- Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer
Verknüpfung
heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
- Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
- Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit
- Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form
wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt.
Aufgabe (3 Punkte)
- Es seien und Modelle für die natürlichen Zahlen. Dann gibt es genau eine
(bijektive)
Abbildung
die das Zählen (also die und die Nachfolgerabbildung)
respektiert. - Es sei ein
kommutativer Halbring
und . Ferner sei eine natürliche Zahl. Dann gilt
- Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und es sei . Dann gibt es eine natürliche Zahl mit .
Aufgabe (2 Punkte)
In einer U-Bahn-Station wird der Zugang und der Ausgang über eine elektronische Karte geregelt, die man an einen Sensor halten muss, damit sich die Schranke öffnet. Es gibt 5 Ausgänge, aber nur 2 Zugänge. Was haben sich die Leute dabei vermutlich gedacht?
Lösung U-Bahn/Zugang und Ausgang/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (3 (1.5+1.5) Punkte)
Ein Zug fährt Kilometer den Rhein abwärts mit einer Geschwindigkeit von kmh. Auf dem Rhein fahren Schiffe in beide Richtungen, alle mit einer Geschwindigkeit von kmh, wobei sie zu den gleichgerichteten Schiffen einen konstanten Abstand von km einhalten. Zu Beginn der Fahrt ist der Zug gleichauf mit zwei Schiffen (in beide Richtungen).
- Wie vielen entgegenkommenden Schiffen begegnet der Zug?
- Wie viele Schiffe überholt der Zug?
Wir denken uns die Rheinstrecke skaliert von bis , der Startort ist beim Nullpunkt und der Zielpunkt des Zuges ist bei . Aufgrund der Anfangsbedingung befinden sich zum Startzeitpunkt Schiffe in beide Richtungen in den Positionen
- Die entgegenkommenden Schiffe sind die in Gegenrichtung fahrenden Schiffe, die sich zum Startzeitpunkt an den Positionen bis befinden (das Schiff in der Position ist nach einer Stunde an der Position und begegnet zum Endzeitpunkt dem Zug). Dies sind insgesamt Schiffe.
- Die eingeholten Schiffe sind die in gleicher Richtung fahrenden Schiffe, die sich zum Startzeitpunkt an den Positionen bis befinden (das Schiff in der Position ist nach einer Stunde an der Position und wird zum Endzeitpunkt vom Zug eingeholt). Dies sind insgesamt Schiffe.
Aufgabe (2 Punkte)
In der Klasse 3c wird eine Klassenarbeit geschrieben, jeder Schüler und jede Schülerin bekommt eine Note. Beschreibe diesen Vorgang als ein Abbildung. Was bedeuten injektiv und surjektiv in diesem Fall?
Lösung Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (3 Punkte)
Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion aus den Dedekind-Peano-Axiomen.
Es sei
Wir wollen zeigen, dass ist, denn genau dies bedeutet, dass die Aussage für alle gilt. Nach der ersten Bedingung ist
Nach der zweiten Voraussetzung gilt für , dass aus stets folgt. Damit erfüllt beide Voraussetzungen im Induktionsprinzip für Mengen, sodass gilt.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (7 Punkte)
Beweise den Satz über die Multiplikation und endliche Mengen.
Wir behaupten, dass die Abbildung
bijektiv ist. Zum Beweis der Surjektivität sei vorgegeben. Dieses (ganzzahlige) Intervall kann man in die disjunkten Intervalle
unterteilen. Das Element gehört somit zu einem dieser Intervalle, d.h. es gibt ein mit
mit zwischen und . Dann ist
mit einem zwischen und und gehört somit zum Bild. Zum Beweis der Injektivität seien
gegeben, die auf das gleiche Element abbilden. Es gilt also
Da und beide zu gehören, sind die Summen jeweils maximal gleich bzw. . Daher können die Zahlen nur dann gleich sein, wenn
und dann nach der Abziehregel auch
ist.
Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)
Die Fußballmannschaft des TSV Wildberg verfügt über drei Torwarte, sieben Verteidigungsspieler, sechs Mittelfeldspieler und vier Angreifer. Im anstehenden Spiel gegen Effringen will sie (neben einem Torwart) mit vier Verteidigern, drei Mittelfeldspielern und drei Angreifern agieren.
- Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es?
- Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es, wenn man zusätzlich noch berücksichtigt, dass einer der eingesetzten Spieler der Kapitän sein soll?
- Wildberg geht in der Minute mit in Führung und entschließt sich, die Verteidigung zu stärken, indem zwei Angreifer durch zwei Verteidiger ersetzt werden. Wie viele Auswechlungsmöglichkeiten gibt es dafür?
- Es gibt
- Es gibt Möglichkeiten, die Mannschaft aufzustellen und dabei einen Kapitän festzulegen.
- Es sind drei Angreifer auf dem Platz und drei Verteidiger auf der Bank. Also gibt es
Auswechselmöglichkeiten.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Heute ist Freitag. Welcher Wochentag war vor Tagen?
Es ist
der Rest bei der Division von durch ist also . Daher ist vor Tagen der gleiche Wochentag wie vor Tagen, also ein Samstag.
Aufgabe (2 Punkte)
Angelika Freiwurf kommt um 15:00 zum See und angelt bis 18:00. Zu Beginn befinden sich 10 Hechte und 80000 Buntbarsche im See. Ein Hecht verspeist pro Stunde 3 Buntbarsche. Angelika fängt pro Stunde 5 Buntbarsche. Darüber hinaus fängt sie um 16:00 einen Hecht und zum Abschluss um 18:00 noch mal einen Hecht. Wie viele Hechte und wie viele Buntbarsche befinden sich um 18:00 im See?
Angelika fängt insgesamt 2 Hechte und
Buntbarsche. In der ersten Stunde verspeisen die 10 Hechte
Buntbarsche und in den folgenden zwei Stunden verspeisen die 9 verbliebenen Hechte
Buntbarsche. Wegen
gibt es um noch 8 Hechte und
Buntbarsche im See.
Aufgabe (7 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel das Vierertupel
zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
Es sei das Maximum der beteiligten vier Zahlen . Wir zeigen, dass dieses Maximum nach endlich vielen Iterationen kleiner wird. Da wir uns innerhalb der natürlichen Zahlen befinden, folgt daraus, dass das Maximum irgendwann wird, was bedeutet, dass dann alle vier Zahlen sind. Da alle Zahlen aus sind und die nichtnegative Differenz genommen wird, wird das Maximum definitiv nicht größer bei einer Iteration. Allerdings kann das Maximum gleich bleiben. Dies kann aber nur dann sein, wenn ein Nachbar (zyklisch gedacht, die vierte Zahl ist also auch ein Nachbar der ersten Zahl) des Maximums gleich ist. Wir müssen (durch zyklisches Vertauschen und Spiegeln) nur noch die Situation anschauen, wo das Tupel die Form
mit hat. Wenn ist, so liefert die Abbildung
Wir müssen also nur noch die Situation anschauen, wo es höchstens zwei Nullen gibt. Bei
mit ergibt sich im nächsten Schritt
was keine Nullen mehr hat. Bei
mit ergibt sich im nächsten Schritt
Bei besitzt dies nur eine Null, bei sind wir in einem schon behandelten Fall. Es sei das Tupel jetzt
mit
Das Ergebnis ist
Bei ist dies
mit dem Folgetupel
Bei besitzt dies ein kleineres Maximum, bei ist das Folgetupel gleich
und davon ist das Folgetupel
Es sei also . Das Folgetupel ist bei gleich
und dessen Folgetupel ist
Allenfalls in der dritten Position könnte eine stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von , sodass das Folgetupel keine Null besitzt.
Das Folgetupel ist bei
gleich
und dabei ist wieder allenfalls in der dritten Position eine , stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von , sodass das Folgetupel keine Null besitzt.
Aufgabe (1 Punkt)
Jonathan (8 Jahre alt) antwortet auf die Frage, was ist, nach einigem Überlegen mit „achtundachtzig Millionen achthundertachtundachtzigtausend achthundertachtundachzig“. Was hätte er auf die Frage, was ist, geantwortet?
Sieben Millionen siebenhundertsiebenundsiebzigtausend siebenhundertsiebenundsiebzig.
Aufgabe (7 (1+2+4) Punkte)
- Zeige, dass kein Teiler von ist, aber ein Teiler von .
- Es sei und es sei diejenige natürliche Zahl, die im Zehnersystem durch aufeinanderfolgende Einsen dargestellt wird. Zeige, dass genau dann von geteilt wird, wenn gerade ist.
- Es seien und es sei die Zahl mit Einsen und die Zahl mit Einsen (im Zehnersystem). Zeige, dass genau dann von geteilt wird, wenn von geteilt wird.
- Es ist
kein Vielfaches von und
- Bei gerade ist
.
Das Produkt der mit der Zahl mit Einsen
(und Nullen)
und dann ist
mit Einsen, also ist ein Teiler. Die umgekehrte Richtung wird unter (3) systematischer bewiesen.
- Wir schreiben
und
Wenn ein Teiler von ist, so gilt mit einem . Es ist dann nach dem allgemeinen Distributivgesetz
da jedes zwischen und nach der Division mit Rest eine eindeutige Darstellung als
mit den angegebenen Bedingungen für und besitzt.
Wenn kein Teiler von ist, so gilt mit einem und . Es ist dann
Der linke Summand ist ein Vielfaches von aufgrund der Hinrichtung. Nehmen wir an, dass ein Vielfaches von wäre. Dann wäre auch der rechte Summand, also , ein Vielfaches von . Dann müsste ein Vielfaches von sein, da die Zehnerpotenz und teilerfremd sind. Dies kann wegen nicht sein.
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir . Man betrachtet die Zahl
Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen teilbar, da bei Division von durch immer ein Rest verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von , die es nach Satz 12.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass beim euklidischen Algorithmus zu und der größte gemeinsame Teiler von zwei aufeinanderfolgenden Resten stets gleich bleibt und schließe daraus, dass der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen berechnet.
Die Reste seien mit bezeichnet. Wenn ein gemeinsamer Teiler von und von ist, so zeigt die Beziehung
dass auch ein Teiler von und damit ein gemeinsamer Teiler von und von ist. Die Umkehrung folgt genauso. Daraus folgt mit der Gleichungskette
dass der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und berechnet.
Aufgabe (3 (2+1) Punkte)
Es sei eine natürliche Zahl.
- Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und .
- Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von und .
- Es ist
und
Daher ist ein gemeinsamer Teiler der beiden Zahlen. Die beiden anderen Faktoren, also bzw. sind teilerfremd, da ihr Abstand ist. Somit tragen diese Faktoren nicht zum größten gemeinsamen Teiler bei und daher ist der größte gemeinsame Teiler gleich .
- Nach
Lemma 21.3 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
und Teil (1) ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen gleich
Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)
Wir betrachten die Stammbrüche und .
- Wie viele Stammbrüche liegen echt zwischen und ?
- Wie viele rationale Zahlen der Form mit liegen echt zwischen und ?
- Wie viele rationale Zahlen liegen echt zwischen und ?
- Nur der Stammbruch .
- Es ist
daher ist die einzige rationale Zahl von dieser Form, die zwischen den vorgegebenen Zahlen liegt.
- Zwischen je zwei verschiedenen Zahlen liegen stets unendlich viele rationale Zahlen.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (1 Punkt)
Bruno liest in der Zeitung: „Im letzen Jahr war bei aller Autounfälle Alkohol mit im Spiel“. Bruno überlegt: „ mit Alkohol, ohne Alkohol. Dann ist es also egal, ob man was trinkt oder nicht. In Zukunft werde ich das auch nicht mehr so streng sehen“. Beurteile diese Überlegung!
Lösung Autounfall/Alkoholanteil/Aufgabe/Lösung